Quattro semirette di origine  $O$  si susseguono nell’ordine  $a$ ,  $b$ ,  $c$,  $d$ , e gli angoli  $ad$  e  $bc$  hanno la stessa bisettrice  $s$ . Prendi su  $a$  e  $d$  rispettivamente i segmenti  ….

Quattro semirette di origine  $O$  si susseguono nell’ordine  $a$ ,  $b$ ,  $c$,  $d$ , e gli angoli  $ad$  e  $bc$  hanno la stessa bisettrice  $s$ . Prendi su  $a$  e  $d$  rispettivamente i segmenti  $OA = OD$ e su  $b$  e  $c$  rispettivamente i segmenti  $OB = OC$.

Dimostra che $ac = bd$,   $AB = CD$  e  $AC = BD$.

 

 

Svolgimento

Consideriamo gli angoli  $\hat{AOB}$ e  $\hat{COD}$ . Essi sono congruenti perché opposti al vertice.

Ora consideriamo i triangoli  $COD$  e  $BOA$. Essi hanno:

  • $DO = AO$ per ipotesi;
  • $OC = BO$ per ipotesi;
  • $ \hat{AOB} = \hat{COD}$  perché angoli opposti al vertice;

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli  $COD$  e  $BOA$  sono congruenti.

In particolare risulta che  $AB = CD $ .

Di conseguenza  $AC = BD$  perché somme di lati congruenti.

Gli angoli formati dalle rette  $ac$  e  $bd$  sono congruenti perché somme di angoli congruenti; si ha infatti che:

  • $ \hat{AOB} = \hat{COD}$ perché angoli opposti al vertice;
  • l’angolo  $bc$  è congruente all’angolo  $ad$ , anch’essi opposti al vertice.

 

 

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