Sia  $ABC$  un triangolo isoscele di base  $BC$  e siano rispettivamente  $D$  e  $E$  due punti dei lati  $AB$  e  $AC$  tali che  $AD = AE $ ….

Sia  $ABC$  un triangolo isoscele di base  $BC$  e siano rispettivamente  $D$  e  $E$  due punti dei lati  $AB$  e  $AC$  tali che  $AD = AE $ . Prolunga il segmento  $DE$  di due segmenti  $DH$  e  $EK$  entrambi congruenti a  $DE$ .

Dimostra che  $HB = KC$  e che  $HC = KB$ .

 

 

Svolgimento

Consideriamo i triangoli  $BHD$  e   $CKE$ ; essi hanno:

  • $HD = EK$ per ipotesi;
  • $DB = EC$  per costruzione, essendo  $AD = AE $ due segmenti costruiti sui lati di un triangolo isoscele;
  • $\hat{HDB} = \hat{KEC}$ , poiché angoli opposti al vertice di angoli alla base di un triangolo isoscele  $ (ADE) $

Di conseguenza, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $BHD$  e   $CKE$  sono congruenti. Possiamo quindi affermare che  $HB = KC$, poiché lati opposti ad angoli congruenti.

Consideriamo ora i triangoli   $BHK$  e   $CKH$  ; essi hanno:

  • $BH = CK $  per la precedente dimostrazione;
  • $HK$  in comune;
  • $\hat{BHK} = \hat{CKH}$ , per la precedente dimostrazione.

Di conseguenza, per il per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $BHK$  e   $CKH$  sono congruenti. In particolare risulta che   $HC = KB$  poiché lati opposti ad angoli congruenti.

 

 

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