Traccia la mediana $\bar{MN}$ del triangolo $ABC$, indica con $P$ il suo punto medio; la semiretta $\bar{BP}$ interseca il lato $\bar{AC}$ in $Q$. Dimostra che $\bar{CQ} = 2\bar{AQ}$ .

Traccia la mediana  $\bar{MN}$  del triangolo $ABC$, indica con $P$ il suo punto medio; la semiretta $\bar{BP}$   interseca il lato $\bar{AC}$   in $Q$. Dimostra che  $\bar{CQ} = 2\bar{AQ}$ .

 

mediana_di_un_triangolo

 

Risoluzione

Analizziamo i dati:

$\bar{AO} = \bar{OM}$

$\bar{CM} = \bar{MB}$

Per poter risolvere il problema ci è utile tracciare dal punto $M$ la parallela al segmento  $\bar{BQ}$   che interseca il lato $\bar{AC}$  nel punto $K$.

 

mediana_triangolo

 

Consideriamo i segmenti  $\bar{AC}$ e $\bar{AM}$ e le parallele  $\bar{BQ}$ e $\bar{KM}$ .

Sappiamo che a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra;

quindi, poiché  $\bar{AO}= \bar{OM}$  , possiamo affermare che   $\bar{AQ}= \bar{QK}$ .

Il problema chiede di dimostrare che   $\bar{CQ}= 2 \bar{AQ}$  ; ci basterà quindi dimostrare che   $\bar{QK}= \bar{CK}$   .

Prendiamo in considerazione i triangoli   $CKM$ e $QCB$ .

Essi hanno:

  •  $ \hat{CKM}$  in comune;
  •  $ 2 \bar{CM}= \bar{CB}$  perché lati generati da una mediana;
  •  $ \hat{KMC} ≅ \hat{QBC} $ perché angoli corrispondenti generati dalle parallele  $\bar{BQ}$ e $\bar{KM}$   e dalla trasversale  $\bar{CB} $   .

Quindi, avendo due angoli congruenti e il lato fra essi compreso in proporzione, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli   $CKM$ e $QCB$   sono simili.

Poiché i lati del triangolo   $QCB$    sono doppi di quelli del triangolo  $CKM$  , possiamo affermare che  $\bar{QC} = 2 \bar{KC}$  , quindi  $\bar{QK} = \bar{KC}$ .

Ora, poiché  $\bar{QK}= \bar{KC} = \bar{AQ}$ , abbiamo dimostrato che   $ \bar{CQ} = 2 \bar{AQ} $  .

 

 

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