_francesca.ricci
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In un triangolo
[math]ABC[/math]
di base
[math]CB[/math]
, prolunga la mediana
[math]AM[/math]
fino al punto
[math]S[/math]
, esterno al triangolo, intersezione della mediana con la semiretta avente origine in
[math]B[/math]
e tale che gli angoli
[math]hat{ACB}[/math]
e
[math]hat{MBS}[/math]
abbiano la stessa ampiezza.

Dimostra che

[math] MS = AM [/math]
.

Svolgimento

Disegniamo il triangolo descritto dal problema:

triangolo

Per ipotesi sappiamo che:

  • [math] CM = MB [/math]
    perché segmenti generati dalla mediana
    [math]AM[/math]
    ;
  • [math]hat{AMC} = hat{BMS} [/math]
    perché angoli opposti al vertice;
  • [math]hat{ACM} = hat{MBS} [/math]
    per ipotesi.

Di conseguenza, i triangoli

[math]ACM[/math]
e
[math]BMS[/math]
hanno due angoli e il lato fra essi compreso congruenti.

Possiamo quindi affermare che, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, che essi sono congruenti.

Quindi risulterà che anche il lato

[math]SM[/math]
è congruente a
[math]MA[/math]
, poiché sono opposti a due angoli congruenti.

In questo modo abbiamo dimostrato che

[math] MS = AM [/math]
.