In un triangolo  $ABC$ di base $CB$ , prolunga la mediana  $AM$  fino al punto $S$, esterno al triangolo,  intersezione della mediana con la semiretta avente origine in  $B$ e tale che  gli angoli …

In un triangolo  $ABC$ di base $CB$ , prolunga la mediana  $AM$  fino al punto $S$, esterno al triangolo,  intersezione della mediana con la semiretta avente origine in  $B$ e tale che  gli angoli   $\hat{ACB}$  e  $\hat{MBS}$ abbiano la stessa ampiezza.

Dimostra che  $ MS = AM $ .

 

Svolgimento

Disegniamo il triangolo descritto dal problema:

 

triangolo

 

Per ipotesi sappiamo che:

  • $ CM = MB $ perché segmenti generati dalla mediana  $AM$ ;
  • $\hat{AMC} = \hat{BMS} $ perché angoli opposti al vertice;
  • $\hat{ACM} = \hat{MBS} $  per ipotesi.

 

Di conseguenza, i triangoli  $ACM$ e  $BMS$ hanno due angoli e il lato fra essi compreso congruenti.

Possiamo quindi affermare che, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, che essi sono congruenti.

Quindi risulterà che anche il lato  $SM$  è congruente a  $MA$ , poiché sono opposti a due angoli congruenti.

In questo modo abbiamo dimostrato che  $ MS = AM $ .

 

 

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