Triangolo: caratteristiche ed elementi principali
Un triangolo è una figura piana (bidimensionale) composta da tre segmenti uniti attraverso i vertici; il triangolo è quindi costituito da tre sementi e tre angoli (parte di piano delimitata da due semirette aventi l’origine in comune).I segmenti che compongono il triangolo prendono il nome di lati mentre gli estremi che i segmenti hanno in comune prendono il nome di vertici.
Nel triangolo possono essere individuati degli ulteriori elementi caratteristici quali la mediana, la bisettrice e l’asse.
La mediana è il segmento che ha un estremo che coincide con il vertice del triangolo, che ha il secondo estremo che appartiene al lato opposto al vertice considerato e che lo divide a metà; si dice quindi che la mediana divide un lato del triangolo a metà.
Dato che un triangolo è composto da 3 lati e da 3 vertici, in un triangolo è possibile tracciare tre diverse mediane, per individuare qualche mediana si sta considerando è necessario specificare il lato su cui cade o il vertice da cui parte.
Dato un vertice di un triangolo la bisettrice è la semiretta che ha come origine tale vertice e che divide a metà l’angolo del vertice considerato; la bisettrice divide l’angolo al vertice in due angoli congruenti.
Come nel caso della mediana, dato che un triangolo è composto da 3 angoli, è possibile individuare in un triangolo 3 bisettrici, per specificare a quale bisettrice ci si sta riferendo è necessario indicare l’angolo o il vertice considerato.
Dato un lato del triangolo è possibile tracciare una terza retta che prende il nome di asse; l’asse è la semiretta che passa per il punto medio del lato considerato e che è disposta in modo perpendicolare a tale lato.
Si ricorda che due rette sono perpendicolari quando sono incidenti (hanno un solo punto in comune) e nell’incontrarsi individuano quattro angoli retti.
Generalmente l’asse non passa per il vertice opposto al lato considerato, solo in alcuni casi specifici come nel caso del triangolo equilatero (triangolo composto da tre lati e tre angoli congruenti) o nel caso del triangolo isoscele (triangolo composto da due lati congruenti) si ha che l’asse di uno o più lati passa per il vertice del lato opposto.
Per ulteriori approfondimenti sui diversi tipi di triangoli vedi anche qua
Triangolo: criteri di congruenza
Due triangoli si dicono congruenti quando sono perfettamente sovrapponibili.Affinché due triangoli siano congruenti non è necessario dimostrare che tutti i lati e tutti gli angoli che lo compongono siano congruenti; esistono infatti dei criteri chiamati appunto criteri di equivalenza che ci dicono di quali elementi è sufficiente dimostrare la congruenza per poter affermare che i due triangoli sono congruenti.
- due triangoli sono congruenti se un angolo e i due lati che lo delimitano sono congruenti;
- due triangoli sono congruenti se un lato e i due angoli adiacenti sono congruenti;
- due triangoli sono congruenti se hanno tutti e tre i lati congruenti;
- due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e un lato congruenti (in quest’ultimo criterio è necessario che l’ordine degli elementi congruenti sia mantenuto nei due triangoli che si stanno considerando).
Una volta verificata la congruenza attraverso i criteri appena esposti è possibile affermare che i due triangoli considerati sono congruenti e che quindi anche tutti gli altri elementi sono congruenti.
Si può notare come attraverso questi criteri sia sufficiente verificare la congruenza di solo tre elementi sui 6 complessivi che compongono un triangolo (3 lati e 3 angoli).
Per ulteriori approfondimenti sui criteri di congruenza dei triangoli vedi anche qua
Problema e risoluzione
In un triangolo ABC si prolunga la mediana AM di un segmento MD congruente a MA. Dimostra che il triangolo AMC è congruente al triangolo BMD e che il triangolo ABM è congruente al triangolo CMD.Per prima cosa disegniamo il triangolo in questione:
Dimostriamo ora che i triangoli AMC e BMD sono equivalenti.
Consideriamo, quindi, questi due triangoli; essi hanno:
- [math]\overline{AM} \cong \overline{MD}[/math]per ipotesi;
- [math]\overline{BM} \cong \overline{MC}[/math]perché segmenti generati dalla mediana AM;
- [math]\widehat{AMC} \cong \widehat{CMD}[/math]perché angoli opposti al vertice.
Quindi, avendo due lati e l'angolo tra essi compreso congruenti, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, essi sono congruenti.
Allo stesso modo, i triangoli ABM e CMD sono equivalenti, poiché essi hanno:
- [math]\overline{AM} \cong \overline{MD}[/math]per ipotesi;
- [math]\overline{BM} \cong \overline{MC}[/math]perché segmenti generati dalla mediana AM;
- [math]\widehat{AMB} \cong \widehat{CMD}[/math]perché angoli opposti al vertice.
