In un triangolo rettangolo ABC rettangolo in A il cateto AB è lungo 16cm….

In un triangolo rettangolo ABC rettangolo in A il cateto AB è lungo 16cm, una delle due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa supera l’altra proiezione di 2cm. Calcola perimetro e area del triangolo rettangolo.

 

Risoluzione

Ipotizziamo che il cateto  $\hat{AB}$ , di 16 cm, sia il cateto maggiore; chiamiamo con  $x$  la proiezione sull’ipotenusa del cateto minore  $\hat{AC}$ , mentre con  $x+2$  la proiezione del cateto maggiore  $\hat{AB}$.

Possiamo sfruttare il primo teorema di Euclide, secondo il quale in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

$ \hat{CB}: \hat{AB} = \hat{AB} : \hat{HB}$

Sapendo che  $\hat{CB} = \hat{CH} + \hat{HB}$  possiamo scrivere che

$\hat{CB}= x + (x + 2) = x + x + 2 = 2x + 2$

Sappiamo che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

$ \hat{AB} * \hat{AB} = \hat{CB} * \hat{HB}$

$\hat{AB} ^2 = \hat{CB} * \hat{HB}$

Sostituiamo e ricaviamo x dall’equazione:

$ 16^2 = (2x + 2) * (x + 2)$

$ 256 = 2x^2 + 4x + 2x + 4$

$ 2x^2 + 4x + 2x + 4 – 256 = 0$

$ 2x^2 + 6x – 252 = 0$

$ x^2 + 3x – 126 = 0$

Troviamo le soluzioni usando la formula   $ x = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a)$

$ x = frac(- 3 ± sqrt(3^2 – 4 * (-126)))(2) = $

$ x = frac(- 3 ± sqrt(9 + 504))(2) = frac(- 3 ± sqrt(513))(2) $

Possiamo portare fuori radice, sapendo che  $ 513 = 9 * 57 $

$ x = frac(- 3 ± 3 sqrt(57))(2)    to   $

$ x = frac(- 3 + 3 sqrt(57))(2)    ∨   x = frac(- 3 – 3 sqrt(57))(2) $

Sapendo che $x$ rappresenta la lunghezza di un segmento, essa non può essere negativa; dobbiamo quindi scartare la soluzione negativa e accettare solo $x = frac(- 3 + 3 sqrt(57))(2)$.

Calcoliamo quindi la lunghezza dell’ipotenusa   $ \hat{BC}$  :

$ \hat{BC} = 2x + 2 = 2 * frac(- 3 + 3 sqrt(57))(2) + 2 = -3 + 3sqrt(57) + 2 = -1 + 3sqrt(57)$

Con il teorema di Pitagora, determiniamo la lunghezza del cateto $ \hat{AC}$:

$\hat{AC} = sqrt(\hat{CB} ^2 – \hat{AB}^2) = $

$ sqrt((-1 + 3sqrt(57))^2 – 16^2) = $

$ sqrt((1 + 513 – 6sqrt(57) – 256) = $

$ sqrt((258 – 6sqrt(57)) $

 

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