_francesca.ricci
(70 punti)
2' di lettura
In un triangolo rettangolo ABC rettangolo in A il cateto AB è lungo 16cm, una delle due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa supera l'altra proiezione di 2cm. Calcola perimetro e area del triangolo rettangolo.

Risoluzione

Ipotizziamo che il cateto
[math]hat{AB}[/math]
, di 16 cm, sia il cateto maggiore; chiamiamo con
[math]x[/math]
la proiezione sull'ipotenusa del cateto minore
[math]hat{AC}[/math]
, mentre con
[math]x+2[/math]
la proiezione del cateto maggiore
[math]hat{AB}[/math]
.

Possiamo sfruttare il primo teorema di Euclide, secondo il quale in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa.

[math] hat{CB}: hat{AB} = hat{AB} : hat{HB}[/math]

Sapendo che

[math]hat{CB} = hat{CH} + hat{HB}[/math]
possiamo scrivere che

[math]hat{CB}= x + (x + 2) = x + x + 2 = 2x + 2[/math]

Sappiamo che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

[math] hat{AB} \cdot hat{AB} = hat{CB} \cdot hat{HB}[/math]

[math]hat{AB} ^2 = hat{CB} \cdot hat{HB}[/math]

Sostituiamo e ricaviamo x dall'equazione:

[math] 16^2 = (2x + 2) \cdot (x + 2)[/math]

[math] 256 = 2x^2 + 4x + 2x + 4[/math]

[math] 2x^2 + 4x + 2x + 4 - 256 = 0[/math]

[math] 2x^2 + 6x - 252 = 0[/math]

[math] x^2 + 3x - 126 = 0[/math]

Troviamo le soluzioni usando la formula

[math] x = frac(- b ± \sqrt{b^2 - 4ac})(2a)[/math]

[math] x = frac(- 3 ± \sqrt{3^2 - 4 \cdot (-126)})(2) = [/math]

[math] x = frac(- 3 ± \sqrt{9 + 504})(2) = frac(- 3 ± \sqrt(513))(2) [/math]

Possiamo portare fuori radice, sapendo che

[math] 513 = 9 \cdot 57 [/math]

[math] x = frac(- 3 ± 3 \sqrt{57})(2) \to [/math]

[math] x = frac(- 3 + 3 \sqrt{57})(2) ∨ x = frac(- 3 - 3 \sqrt{57})(2) [/math]

Sapendo che

[math]x[/math]
rappresenta la lunghezza di un segmento, essa non può essere negativa; dobbiamo quindi scartare la soluzione negativa e accettare solo
[math]x = frac(- 3 + 3 \sqrt{57})(2)[/math]
.

Calcoliamo quindi la lunghezza dell'ipotenusa

[math] hat{BC}[/math]
:

[math] hat{BC} = 2x + 2 = 2 \cdot frac(- 3 + 3 \sqrt{57})(2) + 2 = -3 + 3\sqrt{57} + 2 = -1 + 3\sqrt{57}[/math]

Con il teorema di Pitagora, determiniamo la lunghezza del cateto

[math] hat{AC}[/math]
:

[math]hat{AC} = \sqrt{hat{CB} ^2 - hat{AB}^2} = [/math]

[math] \sqrt{(-1 + 3\sqrt(57))^2 - 16^2} = [/math]

[math] \sqrt{(1 + 513 - 6\sqrt(57) - 256) = [/math}

[math] \sqrt{(258 - 6\sqrt(57)) [/math}