In un triangolo rettangolo il rapporto fra l’altezza relativa all’ipotenusa e l’ipotenusa stessa è  $1/3$  e la somma dei cateti è  $a sqrt5$ . Determinare ….

In un triangolo rettangolo il rapporto fra l’altezza relativa all’ipotenusa e l’ipotenusa stessa è  $1/3$  e la somma dei cateti è  $a sqrt5$ . Determinare i cateti e l’ipotenusa.

 

triangolo_rettangolo

 

 

Svolgimento

Chiamiamo i cateti del triangolo  $ABC$  con  $x$  ed  $y$ , in particolare si ha che:

$AB = x$

$BC = y$

In base ai dati fornitici dal problema sappiamo che il rapporto fra l’altezza relativa all’ipotenusa e l’ipotenusa stessa è  $1/3$  e la somma dei cateti è  $a sqrt5$, cioè:

$frac(BH)(AC) = 1/3$

$AB + BC = a sqrt5$

Dobbiamo cercare di trasformare queste scritture in funzione di  $x$  e  $y$ , così da poter impostare un sistema. Possiamo subito scrivere la seconda equazione:

$ x + y = a sqrt5 $

Troviamo ora l’ipotenusa con il teorema di Pitagora:

$AC = sqrt(BC^2 + AB^2) = sqrt(x^2 + y^2) $

Possiamo poi ricavare il valore dell’altezza relativa all’ipotenusa mediante la formula inversa dell’area del triangolo.

$ A = frac(b * h)(2)      to     h = frac(2A)(b) $

In questo caso possiamo trovare l’area in funzione di  $x$  e  $y$ , poiché questi sono i de cateti del triangolo:

$ A_(ABC) = frac(AB * BC)(2) = frac(xy)(2) $

$ h = BH = frac(2A)(b) = frac(2A)(AC) = frac(2 * frac(xy)(2))(sqrt(x^2 + y^2)) $

Scriviamo ora l’equazione:

$frac(BH)(AC) = 1/3$

$frac(frac(xy)(sqrt(x^2 + y^2)))( sqrt(x^2 + y^2) ) = 1/3$

$frac(xy)(sqrt(x^2 + y^2)) * frac(1)(sqrt(x^2 + y^2) ) = 1/3$

$frac(xy)((sqrt(x^2 + y^2))^2) = 1/3$

Sapendo che  $x^2 + y^2$  rappresenta la somma di due quadrati, e che quindi è sempre positivo, possiamo togliere la radice:

$frac(xy)( x^2 + y^2 ) = 1/3$

Impostiamo ora il sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{3} &\\
x + y = a \sqrt{5} &
\end{array}\right.
$$

Poniamo le condizioni di esistenza:

$ C.E.$

$x^2 + y^2  ≠ 0      to      ∀ x,y ∈ ℜ$

Ricaviamo un’incognita dalla seconda equazione e risolviamo il sistema per sostituzione:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{3} &\\
x = a \sqrt{5} – y &
\end{array}\right.
$$

 

Lavoriamo sulla prima equazione:

$frac(y (a sqrt5 – y))((a sqrt5 – y) ^2 + y^2 ) = 1/3$

$frac(a sqrt5 y – y^2)( 5a^2 + y^2 – 2sqrt5 ay + y^2 ) = 1/3$

$frac(a sqrt5 y – y^2)( 5a^2 + 2y^2 – 2sqrt5 ay ) = 1/3$

Calcoliamo il minimo comune multiplo ed eliminiamo il denominatore:

$ 3a sqrt5 y – 3y^2 = 5a^2 + 2y^2 – 2sqrt5 ay  $

$ 3a sqrt5 y – 3y^2 – 5a^2 – 2y^2 + 2sqrt5 ay = 0 $

$ 5a sqrt5 y – 5y^2 – 5a^2 = 0 $

Dividiamo tutto per 5 e ordiniamo l’equazione, cambiando segno:

$ a sqrt5 y – y^2 – a^2 = 0 $

$ y^2 – a sqrt5 y + a^2 = 0 $

Troviamo ora i valori di y con la formula  $y = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $:

$y = frac(- (- sqrt5 a) ± sqrt((- sqrt5 a)^2 – 4a^2))(2) = frac( sqrt5 a ± sqrt( 5a^2 – 4a^2))(2) = $

$ frac( sqrt5 a ± sqrt(a^2))(2) $

Sapendo che la somma dei cateti è  $a sqrt5 $ , possiamo affermare che sicuramente  $a$  è un valore positivo, quindi possiamo portarlo fuori radice senza valore assoluto.

$ y = frac( sqrt5 a pm a )(2) $

Otteniamo quindi i due valori di y:

$ y_1 = frac( sqrt5 a + a )(2)          ,        y_2 = frac( sqrt5 a – a )(2)  $

Troviamo i rispettivi valori di x:

$ x_1 = frac( sqrt5 a – a )(2)          ,        x_2 = frac( sqrt5 a + a )(2)  $

Determiniamo ora il valore dell’ipotenusa, che sarà uguale in entrambi i casi:

$ AC = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt((frac( sqrt5 a – a )(2))^2 + (frac( sqrt5 a + a )(2))^2) = $

$sqrt( frac( (sqrt5 a – a)^2 )(4) + frac( (sqrt5 a + a)^2 )(4)) = $

$sqrt( frac( 5a^2 + a^2 – 2sqrt5 a^2 )(4) + frac( 5a^2 + a^2 + 2sqrt5 a^2 )(4)) = $

$sqrt( frac( 5a^2 + a^2 – 2sqrt5 a^2 + 5a^2 + a^2 + 2sqrt5 a^2)(4) ) = $

$ sqrt(frac(12a^2)(4)) = sqrt(3a^2) = sqrt3 a $

 

 

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