In un
triangolo rettangolo il rapporto fra l’altezza relativa all’ipotenusa e l’ipotenusa stessa è
[math]\frac{1}{3}[/math]
e la somma dei cateti è
[math]a \sqrt5[/math]
. Determinare i cateti e l’ipotenusa.
Svolgimento
Chiamiamo i cateti del triangolo
[math]ABC[/math]
con
[math]x[/math]
ed
[math]y[/math]
, in particolare si ha che:
[math]AB = x[/math]
[math]BC = y[/math]
In base ai dati fornitici dal problema sappiamo che il rapporto fra l’altezza relativa all’ipotenusa e l’ipotenusa stessa è
[math]\frac{1}{3}[/math]
e la somma dei cateti è
[math]a \sqrt5[/math]
, cioè:
[math]\frac{BH}{AC} = \frac{1}{3}[/math]
[math]AB + BC = a \sqrt5[/math]
ii
Dobbiamo cercare di trasformare queste scritture in funzione di
[math]x[/math]
e
[math]y[/math]
, così da poter impostare un sistema.
Possiamo subito scrivere la seconda equazione:
[math] x + y = a \sqrt5 [/math]
Troviamo ora l’ipotenusa con il teorema di Pitagora:
[math]AC = \sqrt{BC^2 + AB^2} = \sqrt{x^2 + y^2} [/math]
Possiamo poi ricavare il valore dell’altezza relativa all’ipotenusa mediante la formula inversa dell’area del triangolo.
[math] A = \frac{b \cdot h}{2} \to h = \frac{2A}{b} [/math]
In questo caso possiamo trovare l’area in funzione di
[math]x[/math]
e
[math]y[/math]
, poiché questi sono i due cateti del triangolo:
[math] A_{ABC} = \frac{AB \cdot BC}{2} = \frac{xy}{2} [/math]
[math] h = BH = \frac{2A}{b} = \frac{2A}{AC} = \frac{2 \cdot \frac{xy}{2}}{\sqrt{x^2 + y^2}} [/math]
Scriviamo ora l’equazione:
[math]\frac{BH}{AC} = \frac{1}{3}[/math]
[math]\frac{\frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{ \sqrt{x^2 + y^2} } = \frac{1}{3}[/math]
[math]\frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} } = \frac{1}{3}[/math]
[math]\frac{xy}{(\sqrt{x^2 + y^2})^2} = \frac{1}{3}[/math]
Sapendo che
[math]x^2 + y^2[/math]
rappresenta la somma di due quadrati, e che quindi è sempre positivo, possiamo togliere la radice:
[math]\frac{xy}{ x^2 + y^2 } = \frac{1}{3}[/math]
Impostiamo ora il sistema:
[math]
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{3} \\
x + y = a \sqrt{5} &
\end{array}\right.
[/math]
Poniamo le condizioni di esistenza:
[math] C.E.[/math]
[math]x^2 + y^2 ? 0 to ? x,y ? ?[/math]
Ricaviamo un’incognita dalla seconda equazione e risolviamo il sistema per sostituzione:
[math]
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{3} \\
x = a \sqrt{5} - y &
\end{array}\right.
[/math]
Lavoriamo sulla prima equazione:
[math]\frac{y (a \sqrt 5 - y)}{(a \sqrt 5 - y) ^2 + y^2 } = \frac{1}{3}[/math]
[math]\frac{a \sqrt5 y - y^2}{ 5a^2 + y^2 - 2\sqrt5 ay + y^2 } = \frac{1}{3}[/math]
[math]\frac{a \sqrt5 y - y^2}{ 5a^2 + 2y^2 - 2\sqrt5 ay } = \frac{1}{3}[/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo ed eliminiamo il denominatore:
[math] 3a \sqrt5 y - 3y^2 = 5a^2 + 2y^2 - 2\sqrt5 ay [/math]
[math] 3a \sqrt5 y - 3y^2 - 5a^2 - 2y^2 + 2\sqrt5 ay = 0 [/math]
[math] 5a \sqrt5 y - 5y^2 - 5a^2 = 0 [/math]
Dividiamo tutto per 5 e ordiniamo l’equazione, cambiando segno:
[math] a \sqrt5 y - y^2 - a^2 = 0 [/math]
[math] y^2 - a \sqrt5 y + a^2 = 0 [/math]
Troviamo ora i valori di y con la formula
[math]y = \frac{- b ± \sqrt\{b^2 - 4ac\}}{2a} [/math]
:
[math]y = \frac{- (- \sqrt5 a) ± \sqrt\{(- \sqrt5 a)^2 - 4a^2\}}{2} = \frac{ \sqrt5 a ± \sqrt{ 5a^2 - 4a^2}}{2} = [/math]
[math] \frac{ \sqrt5 a ± \sqrt{a^2}}{2} [/math]
Sapendo che la somma dei cateti è
[math]a \sqrt5 [/math]
, possiamo affermare che sicuramente
[math]a[/math]
è un valore positivo, quindi possiamo portarlo fuori radice senza valore assoluto.
[math] y = \frac{ \sqrt5 a \pm a }{2} [/math]
Otteniamo quindi i due valori di y:
[math] y_1 = \frac{ \sqrt5 a + a }{2} , y_2 = \frac{ \sqrt5 a - a }{2} [/math]
Troviamo i rispettivi valori di x:
[math] x_1 = \frac{ \sqrt5 a - a }{2} , x_2 = \frac{ \sqrt5 a + a }{2} [/math]
Determiniamo ora il valore dell’ipotenusa, che sarà uguale in entrambi i casi:
[math] AC = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt((\frac{ \sqrt5 a - a }{2})^2 + (\frac{ \sqrt5 a + a }{2})^2) = [/math]
[math]\sqrt{ \frac{ (\sqrt5 a - a)^2 }{4} + \frac{ (\sqrt5 a + a)^2 }{4}} = [/math]
[math]\sqrt{ \frac{ 5a^2 + a^2 - 2\sqrt5 a^2 }{4} + \frac{ 5a^2 + a^2 + 2\sqrt5 a^2 }{4}} = [/math]
[math]\sqrt{ \frac{ 5a^2 + a^2 - 2\sqrt5 a^2 + 5a^2 + a^2 + 2\sqrt5 a^2}{4} } = [/math]
[math] \sqrt{\frac{12a^2}{4}} = \sqrt{3a^2} = \sqrt3 a [/math]
