[math] x^2 + 2x + 2 = 0 \to x = -1 \pm \sqrt{1-2} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1 \pm i [/math]
Il polinomio ha radici complesse; chiamando le sue radici
[math]a[/math]
e [math]b[/math]
, possiamo sempre scrivere il polinomio nella forma: [math] (x-a)(x-b) [/math]
; abbiamo quindi:
[math] x^2 + 2x + 2 = ( x - (-1+i) ) \cdot ( x - (-1-i) ) [/math]
Togliamo le parentesi tonde, e cerchiamo di scrivere la soluzione in una forma che può esserci utile:
[math] ( x - (-1+i) ) \cdot ( x - (-1-i) ) = (x + 1 - i) \cdot (x + 1 + i) = ((x + 1) - i) \cdot ((x + 1) + i) [/math]
Notiamo quindi che abbiamo ottenuto un'espressione del tipo prodotto somma per differenza; come sappiamo, tale espressione può essere scritta come il quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo, ovvero:
[math] ((x + 1) - i) \cdot ((x + 1) + i) = (x+1)^2 - (i)^2 [/math]
e ricordando le proprietà dell'unità immaginaria si ha:
[math] x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 - (i)^2 = (x+1)^2 - (-1) = (x+1)^2 + 1 [/math]
Torniamo quindi all'integrale:
[math] \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx = \int \frac{1}{(x+1)^2 + 1} dx [/math]
Abbiamo ottenuto un integrale che può essere ricondotto ad una forma notevole, in quanto al denominatore abbiamo un quadrato più il termine 1; il risultato dell'integrazione è quindi il seguente:
[math] \int \frac{1}{(x+1)^2 + 1} dx = \arctan(x+1) + c [/math]
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