_stan
di _stan
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Per la risoluzione dell'integrale conveniente separare la frazione, ottenendo la scrittura seguente:

[math] \frac{2x + 1}{x(x^2 + 1)} = \frac{2x}{x(x^2 + 1)} + \frac{1}{x(x^2 + 1)} [/math]

A questo punto, nella prima frazione possiamo semplifcare la

[math]x[/math]
, ottenendo così una forma che può essere ricondotta a un integrale noto:

[math] \frac{2}{x^2 + 1} + \frac{1}{x(x^2 + 1)} [/math]

Per quando riguarda la seconda frazione, possiamo procedere scomponendola in fratti semplici, ovvero cercando una espressione della frazione che abbia la seguente forma:

[math] \frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2 + 1} [/math]

dove il coeffciente A può essere ricavato nel seguente modo:

[math] \displaystyle A = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 + 1} = 1 [/math]

ottenuto A, non è difficile ricavare il valore di B; infatti si ha che:

[math] \frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{1}{x} + \frac{B}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 + Bx}{x(x^2 + 1)} [/math]

e poiché il numeratore deve essere 1, si conclude che

[math] B = - x[/math]
; l'espressione generale del nostro integrale sarà quindi:

[math] \displaystyle \int \frac{2}{x^2 + 1} + \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 1} dx [/math]

Come sappiamo, dalla proprietà di linearità degli integrali, possiamo scrivere l'integrale della somma delle frazioni come somma degli integrali delle frazioni, ovvero:

[math] \displaystyle \int \frac{2}{x^2 + 1} + \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 1} dx = [/math]

[math] = 2 \int \frac{1}{x^2 + 1} dx + \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x}{x^2 + 1} dx [/math]

Il primo integrale si può riconoscere come integrale notevole, e il suo valore :

[math] \displaystyle \int \frac{1}{x^2 + 1} dx = arc\\tan{x} + c [/math]

anche il secondo integrale è un integrale notevole, e il suo valore :

[math] \displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \\log(|x|) + c [/math]

infine per l'ultimo integrale notiamo che abbiamo al numeratore la derivata del denominatore, a meno di un fattore moltiplicativo; possiamo quindi scrivere:

[math] \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \\log(x^2 + 1) + c [/math]

Per concludere, riportiamo il valore finale dell'integrale di partenza:

[math] \displaystyle \int \frac{2x + 1}{x(x^2 + 1)} dx = 2 arc\\tan(x) + \\log(|x|) - \frac{1}{2} \\log(x^2 + 1) + c [/math]

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