Per la risoluzione di questo integrale dobbiamo effettuare un cambio di variabile del tipo :
[math] t = \sqrt{x+1} [/math]
In questo caso va considerato anche cosa accade ai differenziali, in quanto si ha:
[math] t = \sqrt{x+1} \to 1 dt = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} dx \to dx = 2 \sqrt{x+1} dt = 2t dt [/math]
Possiamo procedere quindi con la sostituzione:
[math] \displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1} + 3}{x+2} dx = \int \frac{t + 3}{t^2 - 1+2} 2t dt = 2 \int \frac{t^2+3t}{t^2 + 1} dt [/math]
Proviamo ad aggiungere e sottrarre al numeratore il termine
[math]-1[/math]
:
[math] \displaystyle 2 \int \frac{t^2+3t}{t^2 + 1} dt = 2 \int \frac{t^2+3t + 1 - 1}{t^2 + 1} dt [/math]
e scomponiamo la frazione in questo modo:
[math] \displaystyle 2 \int \frac{t^2+3t + 1 - 1}{t^2 + 1} dt = 2 \int \frac{t^2 + 1}{t^2 + 1} + \frac{3t - 1}{t^2 + 1} dt = [/math]
[math] \displaystyle 2 \int \frac{t^2 + 1}{t^2 + 1} dt + 2 \int \frac{3t - 1}{t^2 + 1} dt [/math]
In questo modo possiamo risolvere i singoli integrali riconducendoci a forme notevoli; nel primo caso abbiamo:
[math] \displaystyle 2 \int \frac{t^2 + 1}{t^2 + 1} dt = 2 \int 1 dt = 2t + c [/math]
mentre nel secondo caso conveniente spezzare la frazione e risolvere i singoli integrali separatamente:
[math] \displaystyle 2 \int \frac{3t - 1}{t^2 + 1} dt = 2 \int \frac{3t}{t^2 + 1} dt - 2 \int \frac{1}{t^2 + 1} dt [/math]
Il primo integrale può essere ricondotto ad una forma notevole; cerchiamo di far apparire al numeratore la derivata del denominatore:
[math] \displaystyle 2 \int \frac{3t}{t^2 + 1} dt = 3 \int \frac{2t}{t^2 + 1} dt [/math]
In questo modo abbiamo:
[math] \displaystyle 3 \int \frac{2t}{t^2 + 1} dt = 3 \\log(t^2 + 1) + c [/math]
Nel secondo caso l'integrale si presenta già in una forma notevole, e si ha:
[math] \displaystyle 2 \int \frac{1}{t^2 + 1} dt = 2arc\\tan(t) + c [/math]
Ricomponiamo quindi, l'integrale di partenza:
[math] \displaystyle 2 \int \frac{t^2+3t}{t^2 + 1} dt = 2t + 3 \\log(t^2 + 1) - 2arc\\tan(t) + c [/math]
Effettuiamo ora la sostituzione inversa, esprimendo la funzione cosi ottenuta al variare di x:
[math] \displaystyle 2t + 3 \\log(t^2 + 1) - 2arc\\tan(t) + c > [/math]
[math] \displaystyle 2 \sqrt{x+1} + 3 \\log((\sqrt{x+1})^2 + 1) - 2arc\\tan(\sqrt{x+1}) + c = [/math]
[math] = 2 \sqrt{x+1} + 3 \\log(|x+2|) - 2arc\\tan(\sqrt{x+1}) + c [/math]
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