_stan
(320 punti)
2' di lettura
Per la risoluzione dell’integrale è conveniente cercare di esprimere l’integrando in fratti semplici, ovvero scomporre la frazione nel seguente modo:

[math] \frac{x - 3}{x(x^2 - 3x + 2)} = \frac{x - 3}{x(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x -2} [/math]

dove i coefficienti A, B e C possono essere ricavati nel seguente modo:

[math] A = \lim_{x \to 0} \frac{x-3}{x^2 - 3x + 2} = -\frac{3}{2} [/math]

[math] B = \lim_{x \to 1} \frac{x-3}{x(x - 2)} = 2 [/math]

[math] C = \lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x(x - 1)} = -\frac{1}{2} [/math]

Quindi la frazione può essere riscritta in questo modo:

[math] \frac{x - 3}{x(x^2 - 3x + 2)} = -\frac{3}{2} \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{2} \frac{1}{x -2} [/math]

Applichiamo ora la proprietà di linearità degli integrali:

[math] \in t \frac{x - 3}{x(x^2 - 3x + 2)} dx = \int -\frac{3}{2} \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} -\frac{1}{2} \frac{1}{x -2} dx = [/math]

[math] -\frac{3}{2} \in t \frac{1}{x} dx + 2 \int \frac{1}{x - 1} dx -\frac{1}{2} \int \frac{1}{x -2} dx [/math]

Questi integrali possono essere risolti riconducendoci ad un integrale notevole, notando che in ogni caso al numeratore delle frazioni è presente la derivata del denominatore; abbiamo quindi:

[math] \in t \frac{1}{x} dx = \log(|x|) + c [/math]

[math] \in t \frac{1}{x - 1} dx = \log(|x-1|) + c [/math]

[math] \in t \frac{1}{x-2} dx = \log(|x-2|) + c [/math]

Passando all’integrale generale:

[math] -3/2 \in t \frac{1}{x} dx + 2 \int \frac{1}{x - 1} dx -\frac{1}{2} \int \frac{1}{x -2} dx = -\frac{3}{2} \log(|x|) + 2 \log(|x-1|) -1/2 \log(|x-2|) + c [/math]

Ti potrebbe interessare anche