_Steven
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Trovare una primitiva della funzione

[math]f(x)=1/(1+x \cdot e^x)+1/(x+x^2 \cdot e^x)[/math]

Sommando le due frazioni

ci si riduce a calcolare l'integrale :

[math]L=int(x+1)/(x(1+xe^x))dx[/math]
che può essere risolto

con la posizione
[math]1+xe^x=t[/math]
, da cui
[math]xe^x=t-1,dx=(dt)/(e^x(x+1))[/math]

Sostituendo risulta:

[math]L=int(x+1)/(xt) \cdot (dt)/(e^x(x+1))=int1/(xe^x) \cdot (dt)/t=int1/(t(t-1))dt=int[1/(t-1)-1/t]dt[/math]

Integrando si ha:

[math]L=ln|(t-1)/t|+C=ln|(xe^x)/(1+xe^x)|+C=x+ln|x/(1+xe^x)|+C[/math]

Particolarizzando la
[math]C[/math]
si possono ottenere tutte le primitive richieste.

FINE