Calcolare
[math]int_(-2)^2[/math]
[math](x+3) \cdot \sqrt{4-x^2} \cdot dx[/math]
scrivendolo come somma di 2 integrali e interpretandone uno in termini di area. Intanto svolgiamo la moltiplicazione
[math](x+3) \cdot \sqrt{4-x^2}[/math]
che restituisce [math]x\sqrt{4-x^2}+3\sqrt{4-x^2}[/math]
Perciò l'integrale diventa [math]int_{-2}^{2}(x+3) \cdot \sqrt{4-x^2}dx=int_{-2}^{2}x\sqrt{4-x^2}dx+int_{-2}^{2}3 \cdot \sqrt{4-x^2}dx[/math]
Ora notiamo che [math]int_{-2}^{2}x\sqrt{4-x^2}dx=0[/math]
perchè è l'integrale di una funzione dispari in un intervallo simmetrico rispetto all'origine. Oppure, svolgendo direttamente l'integrale [math]int_{-2}^{2}x\sqrt{4-x^2}dx=[-1/3 \cdot {4-x^2}^{3/2}]_{-2}^{2}=0[/math]
Per cui l'integrale iniziale si riduce a [math]int_{-2}^{2}(x+3) \cdot \sqrt{4-x^2}dx=3int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}dx=3 \cdot A[/math]
dove si può facilmente vedere che [math]A[/math]
è l'area del semicerchio di raggio [math]r=2[/math]
che si trova nel semipiano [math]y>0[/math]
Ora l'area del semicerchio è metà dell'area del cerchio per cui [math]A=(\pi \cdot r^2)/2=\pi \cdot 4/2=2\pi[/math]
per cui [math]int_{-2}^{2}(x+3) \cdot \sqrt{4-x^2}dx=3int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}dx=3 \cdot A=6\pi[/math]
Allo stesso risultato si giunge svolgendo l'integrale, infatti [math]A=int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}dx=[x/2\sqrt{4-x^2}+2Arc\\sin(x/2)]_{-2}^{2}=(2Arc\\sin(1)-2Arc\\sin(-1))=(2 \cdot \pi/2-2 \cdot (-\pi/2))=2\pi[/math]
per cui [math]int_{-2}^{2}(x+3) \cdot \sqrt{4-x^2}dx=3int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}dx=3 \cdot A=3 \cdot 2\pi=6\pi[/math]
FINE
