{etRating 3}
Calcolare
[math]\int(\\log^3(x)-5)/(3x \cdot (\\log^2(x)-1))dx[/math]
Procediamo con la sostituzione di
[math]\\log(x)=t[/math]
, e per la definizione di logaritmo ottengiamo: [math]e^t=x[/math]
, differenziando per trovare [math]dx[/math]
si ha [math]e^t \cdot dt=dx[/math]
. Sostituendo e semplificando, ricaviamo l'integrale:
[math](1/3) \cdot int(t^3-5)/(t^2-1)dt[/math]
dividendo
[math](t^3-5)/(t^2-1)[/math]
otteniamo [math] +(t-5)/(t^2-1)[/math]
per quanto riguarda
[math]t[/math]
l'integrale è immediato, invece la parte [math](t-5)/(t^2-1)[/math]
occorrerà dividerla in due frazioni che portano ad avere i due integrali:
[math]2 \cdot int1/(1-t)dt[/math]
e [math]3 \cdot int1/(1+t)dt[/math]
in definitiva otteniamo integrando:
[math](1/3) \cdot [(t^2/2)-2 \cdot \\log(1-t)+3 \cdot \\log(1+t)]+c[/math]
A questo punto, facendo uso di un paio di proprietà dei logaritmi per rendere la forma più compatta,
[math](1/3) \cdot [t^2/2+\\log((1+t)^3/(1-t)^2)]+c[/math]
Ora non resta che tornare alla variabile inziale, quindi risostituendo abbiamo la famiglia di primitive
[math](1/3) \cdot [(\\log^2x)/2+\\log((1+\\log(x))^3/(1-\\log(x))^2)]+c[/math]
al variare di [math]c[/math]
in [math]RR[/math]
