Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_(x to 0) frac( cos(sqrt2 x^2) – e^(-x^4) )( x^5 * (arcsin(x))^3) $

Per risolvere questo limite risulta complicato procede con metodi “tradizionali”, in quanto è difficile potersi ricondurre a limiti notevoli, o applicare proprietà note; il limite, infatti, si presenta nella forma indeterminata $0/0$.
In questi casi, poiché il limite è per $ x to 0$, è utile procedere sviluppando numeratore e denominatore in serie di Taylor.
Cominciamo dal numeratore; ricordiamo che:

$ e^x = 1 + x + frac(x^2)(2) + ….. + frac(x^n)(n!) + o(x^n) $

$ cos(x) = 1 – frac(x^2)(2) + ….. + frac((-1)^n x^(2n))((2n)!) + o(x^(2n)) $

Nel nostro caso, quindi, sviluppando al secondo ordine otteniamo:

$ N = 1 – frac( (sqrt2 x^2)^2 )(2) + frac((sqrt2 x^2)^4)(4!) – 1 + x^4 – frac(x^8)(2) + o(x^8) = $

$ frac(x^8)(6) – frac(x^8)(2) + o(x^8) = – frac(x^8)(3) + o(x^8) $

Sviluppiamo anche il denominatore, questa volta dobbiamo sviluppare la funzione arcoseno al primo ordine in modo da ottenere terze potenze, in quanto la funzione è elevata alla terza e moltiplicata poi per un fattore $x^5$, e questo ci permette comunque di ottenere un infinitesimo di ordine 8 anche al denominatore.
Lo sviluppo della funzione arcoseno può essere determinato calcolando le derivate della funzione, sapendo che in generale:

$ f(x) = f(x_0) + frac(f^(1)(x_0))(1!) (x – x_0) + frac(f^(2)(x_0))(2!) (x – x_0)^2 + ….

Se chiamiamo $ g(x) = arcsin(x) $, abbiamo che:

$ g’(x) = frac(1)(sqrt(1 – x^2)) $

e $ g’(0) = 1$ ; quindi, al primo ordine la funzione sarà:

$ g(x) = x + o(x) $

Al denominatore avremmo quindi:

$ D = x^5 ( x + o(x) )^3 $

Applicando le proprietà algebriche dell’o-piccolo, abbiamo che:

$ D = x^5 ( x + o(x) )^3 = x^5 ( x^3 + o(x^3)) = x^8 + o(x^8) $

Possiamo quindi fermarci qui; tornando al limite si ottiene:

$ lim_(x to 0) frac( – frac(x^8)(3) + o(x^8) )( x^8 + o(x^8) ) $

Essendo numeratore e denominatore dello stesso grado, possiamo pensare di “semplificare” i termini $x^4$, ottenendo quindi:

$ lim_(x to 0) frac( -frac(1)(3) + o(1))( 1 + o(1)) = -1/3 $

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