Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_(x to 0) frac( e^(x^2) – 1 – x log(1 + x) )( tg^2(x) * log(1+x) ) $

Per risolvere questo limite risulta complicato procede con metodi “tradizionali”, in quanto è difficile potersi ricondurre a limiti notevoli, o applicare proprietà note; il limite, infatti, si presenta nella forma indeterminata $0/0$.
In questi casi, poiché il limite è per $ x to 0$, è utile procedere sviluppando numeratore e denominatore in serie di Taylor.
Cominciamo dal numeratore; ricordiamo che:

$ log(1+x) = x – frac(x^2)(2) + frac(x^3)(3) – …. + frac((-1)^(n+1))(n) x^n + o(x^n) $ per $ |x| < 1 $

$ e^x = 1 + x + frac(x^2)(2) + ….. + frac(x^n)(n!) + o(x^n) $

Nel nostro caso, quindi, sviluppando al terzo ordine otteniamo:

$ N = 1 + x^2 + frac( (x^2)^2)(2) + o((x^2)^2) – 1 – x(x – frac(x^2)(2) + frac(x^3)(3) + o(x^3)) = $

$ 1 + x^2 + frac(x^4)(2) + o(x^4) – 1 – x^2 + frac(x^3)(2) – frac(x^4)(3) + o(x^4) = $

$ frac(x^3)(2) – frac(x^4)(6) + o(x^4) $

Sviluppiamo anche il denominatore; per determinare lo sviluppo della funzione tangente ricordiamo che:

$ f(x) = f(x_0) + frac(f^(1)(x_0))(1!) (x – x_0) + frac(f^(2)(x_0))(2!) (x – x_0)^2 + … $

Se chiamiamo $ g(x) = tg(x) $, abbiamo che:

$ g(0) = 0$

$ g’(x) = frac(1)(cos^2(x)) $

e $ g’(0) = 1$ ; quindi, al primo ordine la funzione sarà:

$ g(x) = x + o(x) $

Proviamo a fermarci al primo ordine, e a sviluppare la funzione $ log(x+1) $ al secondo ordine; l’obiettivo è quello di ottenere funzioni di grado terzo al denominatore.

Al denominatore avremmo quindi:

$ D = (x + o(x))^2 ( x – frac(x^2)(2) + o(x^2) ) = (x^2 + o(x^2)) ( x – frac(x^2)(2) + o(x^2) ) = $

$ x^3 – frac(x^4)(2) + o(x^4) $

Tornando al limite si ottiene:

$ lim_(x to 0) frac( frac(x^3)(2) – frac(x^4)(6) + o(x^4) )( x^3 – frac(x^4)(2) + o(x^4)) $

A questo punto numeratore e denominatore sono confrontabili, in quanto presentano entrambi le funzioni di grado minore dello stesso grado. Possiamo, quindi, pensare di mettere in evidenza al numeratore e al denominatore il fattore $x^3$, e di semplificarlo:

$ lim_(x to 0) frac( frac(1)(2) – frac(x)(6) + o(x) )( 1 – frac(x)(2) + o(x)) $

A questo punto siamo in grado di calcolare il limite:

$ lim_(x to 0) frac( frac(1)(2) – frac(x)(6) + o(x) )( 1 – frac(x)(2) + o(x)) = 1/2 $

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