Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_(x to 0) frac( log(1 + x^3) – sin^3(x) )( x^2 arctg(x^3) ) $

Per risolvere questo limite risulta complicato procede con metodi “tradizionali”, in quanto è difficile potersi ricondurre a limiti notevoli, o applicare proprietà note; il limite, infatti, si presenta nella forma indeterminata $0/0$.
In questi casi, poiché il limite è per $ x to 0$, è utile procedere sviluppando numeratore e denominatore in serie di Taylor.
Cominciamo dal numeratore; ricordiamo che:

$ log(1+x) = x – frac(x^2)(2) + frac(x^3)(3) – …. + frac((-1)^(n+1))(n) x^n + o(x^n) $ per $ |x| < 1 $

$ sin(x) = x – frac(x^3)(6) + ….. + frac((-1)^n x^(2n+1))((2n+1)!) + o(x^(2n+1)) $

Nel nostro caso, quindi, sviluppando al secondo ordine otteniamo:

$ N = x^3 – frac((x^3)^2)(2) + o((x^3)^2) – (x – frac(x^3)(6) + o(x^3))^3 = $

$ x^3 – frac(x^6)(2) + o(x^6) – x^3 + frac(x^5)(2) + o(x^5) = $

$ frac(x^5)(2) + o(x^5) $

Sviluppiamo anche il denominatore, questa volta dobbiamo sviluppare la funzione arcotangente al primo ordine in modo da ottenere terze potenze (l’argomento della funzione, infatti, è già elevato alla terza);in questo modo, dato che la funzione è moltiplicata per $x^2$, otterremo comunque un quinto grado al denominatore.
Lo sviluppo della funzione arcotangente può essere determinato calcolando le derivate della funzione, sapendo che in generale:

$ f(x) = f(x_0) + frac(f^(1)(x_0))(1!) (x – x_0) + frac(f^(2)(x_0))(2!) (x – x_0)^2 + … $

Se chiamiamo $ g(x) = arctg(x) $, abbiamo che:

$ g(0) = 0$

$ g’(x) = frac(1)(1 + x^2)) $

e $ g’(0) = 1$ ; quindi, al primo ordine la funzione sarà:

$ g(x) = x + o(x) $

$ g’’(x) = frac(2x)(2sqrt(1 – x^2) * (1-x^2)) $

Al denominatore avremmo quindi:

$ D = x^2 ( x^3 + o(x^3) ) = x^5 + o(x^5) $

Tornando al limite si ottiene:

$ lim_(x to 0) frac( frac(x^5)(2) + o(x^5) )( x^5 + o(x^5) ) $

Essendo numeratore e denominatore dello stesso grado, possiamo pensare di “semplificare” i termini $x^5$, ottenendo quindi:

$ lim_(x to 0) frac( frac(1)(2) + o(1) )( 1 + o(1) ) = 1/2 $

Potrebbe interessarti anche

 

Commenti

commenti