Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_(x to 0) frac( sin^2(x) – log(1 + x^2) )( x^2 – x arcsin(x) ) $

Per risolvere questo limite risulta complicato procede con metodi “tradizionali”, in quanto è difficile potersi ricondurre a limiti notevoli, o applicare proprietà note; il limite, infatti, si presenta nella forma indeterminata $0/0$.
In questi casi, poiché il limite è per $ x to 0$, è utile procedere sviluppando numeratore e denominatore in serie di Taylor.
Cominciamo dal numeratore; ricordiamo che:

$ log(1+x) = x – frac(x^2)(2) + frac(x^3)(3) – …. + frac((-1)^(n+1))(n) x^n + o(x^n) per |x| < 1 $

$ sin(x) = x – frac(x^3)(6) + ….. + frac((-1)^n x^(2n+1))((2n+1)!) + o(x^(2n+1)) $

Nel nostro caso, quindi, sviluppando al secondo ordine otteniamo:

$ N = (x – 1/6 x^3 + o(x^3))^2 – (x^2 – frac(x^4)(2) + o(x^4)) = $

$ x^2 – 1/3 x^4 – x^2 + frac(x^4)(2) + o(x^4) = frac(x^4)(6) + o(x^4) $

Nei calcoli precedenti, le potenze di ordine superiore al quarto sono state ignorate, in quanto “inglobate” all’interno di $ o(x^4)$.

Sviluppiamo anche il denominatore, questa volta dobbiamo sviluppare la funzione arcoseno al terzo ordine in modo da ottenere terze potenze; dato che la funzione è moltiplicata per $x$, otterremo comunque un quarto grado al denominatore.
Lo sviluppo della funzione arcoseno può essere determinato calcolando le derivate della funzione, sapendo che in generale:

$ f(x) = f(x_0) + frac(f^(1)(x_0))(1!) (x – x_0) + frac(f^(2)(x_0))(2!) (x – x_0)^2 + …$

Se chiamiamo $ g(x) = arcsin(x) $, abbiamo che:

$ g’(x) = frac(1)(sqrt(1 – x^2)) $

e $ g’(0) = 1$ ; quindi, al primo ordine la funzione sarà:

$ g(x) = x + o(x) $

$ g’’(x) = frac(2x)(2sqrt(1 – x^2) * (1-x^2)) $

e $ g’’(0) = 0$ ; proseguiamo, quindi, calcolando la derivata terza:

$ g’’’(x) = frac(1 + 3x – x^2)(sqrt(1 – x^2) * (1-x^2)^2) $

$ g’’’(0) = 1$ ; quindi, al terzo ordine la funzione sarà:

$ g(x) = x + 1/6 x^3 + o(x^3) $

Al denominatore avremmo quindi:

$ D = x^2 – x( x + 1/6 x^3 + o(x^3) ) = x^2 – x^2 – 1/6 x^4 + o(x^4) = $
$ -1/6 x^4 + o(x^4) $

Tornando al limite si ottiene:

$ lim_(x to 0) frac( frac(x^4)(6) + o(x^4) )( -1/6 x^4 + o(x^4) ) $

Essendo numeratore e denominatore dello stesso grado, possiamo pensare di “semplificare” i termini $x^4$, ottenendo quindi:

$ lim_(x to 0) frac( frac(1)(6) + o(1))( -1/6 + o(1)) = -1 $

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