Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_(x to 0) frac(e^(-x^2) – cos(sqrt2 x))( x^3 * sin(x)) $

Per risolvere questo limite risulta complicato procede con metodi “tradizionali”, in quanto è difficile potersi ricondurre a limiti notevoli, o applicare proprietà note; il limite, infatti, si presenta nella forma indeterminata $0/0$.
In questi casi, poiché il limite è per $ x to 0$, è utile procedere sviluppando numeratore e denominatore in serie di Taylor.

Cominciamo dal numeratore; ricordiamo che:

$ e^x = 1 + x + frac(x^2)(2) + ….. + frac(x^n)(n!) + o(x^n) $

$ cos(x) = 1 – frac(x^2)(2) + ….. + frac((-1)^n x^(2n))((2n)!) + o(x^(2n)) $

Nel nostro caso, quindi, sviluppando al secondo ordine otteniamo:

$ N = 1 + (-x^2) + frac((-x^2)^2)(2) + o(x^4) – ( 1 – frac((sqrt2 x)^2)(2) + frac((sqrt2 x)^4)(4!) + o(x^4) ) = $

$ 1 – x^2 + frac(x^4)(4) -1 + x^2 – frac(x^4)(6) + o(x^4) = $

$ frac(x^4)(3) + o(x^4) $

Sviluppiamo anche il denominatore, questa volta ci possiamo fermare al primo ordine, in quanto il seno è moltiplicato per un fattore $x^3$, e questo ci permette comunque di ottenere un infinitesimo di ordine 4 anche al denominatore.
Ricordiamo che lo sviluppo della funzione seno è il seguente:

$ sin(x) = x – frac(x^3)(6) + ….. + frac((-1)^n x^(2n+1))((2n+1)!) + o(x^(2n+1)) $

Abbiamo quindi:

$ D = x^3( x + o(x) ) = x^4 + o(x^4) $

Tornando al limite si ottiene:

$ lim_(x to 0) frac(frac(x^4)(3) + o(x^4))( x^4 + o(x^4)) $

Essendo numeratore e denominatore dello stesso grado, possiamo pensare di “semplificare” i termini $x^4$, ottenendo quindi:

$ lim_(x to 0) frac(frac(1)(3) + o(1))( 1 + o(1)) = 1/3 $

 

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