_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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12' di lettura
In questo appunto di Fisica, dopo una introduzione sulla forza di attrazione gravitazionale e sulla misura della massa terrestre, si trova il rapporto fra la massa della Luna e quella della Terra utilizzando la legge di attrazione gravitazionale.

Legge di attrazione gravitazionale

La forza di attrazione gravitazionale è quella che determina il moto dei pianeti e dei satelliti. Newton ebbe l’intuizione che tale forza si esercitasse fra due oggetti qualsiasi e non solo fra corpi celesti.

Al fine di esprimere questa legge fisica, si considerino due punti materiali qualunque
[math]
P_1
[/math]
e
[math]
P_2
[/math]
, di masse
[math]
m_1
[/math]
ed
[math]
m_2
[/math]
rispettivamente.
La forza
[math]
\overrightarrow{F_{12}}
[/math]
che il punto
[math]
P_1
[/math]
esercita sul secondo punto
[math]
P_2
[/math]
si può esprimere come:
[math]
\overrightarrow{F_{12}} = - \gamma \cdot \big(\frac{m_1 m_2}{r^2}\big) \cdot \overrightarrow{r}
[/math]

dove

[math]
\overrightarrow{r} = (P_2 – P_1)
[/math]

è il versore che individua la direzione da

[math]
P_1
[/math]
a
[math]
P_2
[/math]
, che distano la quantità r fra loro.
Il segno negativo indica la natura attrattiva di tale forza, mentre \gamma è una costante che dipende solo dalle unità di misura usate.
Dall’espressione di tale forza possiamo dedurre che la forza di attrazione gravitazionale fra due masse è un vettore avente modulo:
[math]
F_{12} = \gamma \cdot \big(\frac{m_1 m_2}{r^2}\big)
[/math]

Tale modulo risulta essere direttamente proporzionale alle due masse coinvolte ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza che le separa: quindi aumenta se aumenta il valore delle masse considerate e diminuisce se si aumenta la distanza fra queste, fino a diventare praticamente nulle per distanze infinite.
La costante

[math]
\gamma
[/math]
, che ha sempre il solito valore e, come anticipato, dipende soltanto dalle unità di misura adottate, vale:
[math]
\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11 } m^3 Kg^{-1} s^{-2}.
[/math]

La direzione del vettore che rappresenta la forza di attrazione gravitazionale è individuata dalla retta che contiene la congiungente delle due masse

[math]
m_1
[/math]
ed
[math]
m_2
[/math]
.
Infine il verso è sempre attrattivo: la massa
[math]
m_1
[/math]
attrae la massa
[math]
m_2
[/math]
con la stessa forza con cui
[math]
m_2
[/math]
attrae la massa
[math]
m_1.
[/math]

Supponiamo adesso che invece di due punti materiali,

[math]
P_1
[/math]
e
[math]
P_2
[/math]
, si abbiano due oggetti non puntiformi. In questo caso possiamo scomporre idealmente i due corpi in parti di dimensioni trascurabili e sommare (usando le regole di calcolo vettoriale) le forze di attrazione fra ciascuna parte del primo corpo e ciascuna parte del secondo. Al limite, quando le dimensioni di queste parti tendono a zero, i contributi alla somma divengono sempre più piccoli (e sempre più numerosi) e la somma diventa un integrale. Se il corpo considerato è a simmetria sferica con la densità funzione soltanto della distanza dal centro, ed in particolare un corpo omogeneo, si può provare che la forza di attrazione gravitazionale, che la sfera esercita al di fuori di essa, è esattamente la stessa di quella che eserciterebbe un punto materiale avente la stessa massa e posto nel centro della sfera.

Legge gravitazionale e Terra

Supponiamo che la superficie della Terra sia approssimativamente sferica e che la sua densità vari soltanto con la distanza dal centro. In tali ipotesi, l’attrazione subita da un oggetto di massa m sulla superficie terrestre, risulta in modulo essere uguale a:
[math]
F = \gamma \cdot \big(\frac{m M_T}{(R_T)^2}\big)
[/math]

dove

[math]
M_T
[/math]
è la massa della Terra ed
[math]
R_T
[/math]
il suo raggio.
Tale forza spiega la caduta dei gravi con accelerazione g.
Inoltre, per il Secondo Principio della Dinamica si ha che:
[math]
\gamma \cdot \big(\frac{m M_T}{(R_T)^2}\big) = m g
[/math]

quindi

[math]
\gamma \cdot \big(\frac{M_T}{(R_T)^2}\big) = g.
[/math]

Un forza attrattiva del tutto analoga fra la Terra ed il suo satellite, la Luna, determina il moto di quest’ultima intorno al nostro pianeta, infatti, applicando ancora il Secondo Principio della Dinamica,

[math]
F = ma
[/math]

si ottiene che

[math]
\gamma \cdot \big(\frac{m M_T}{D^2}\big) = m a
[/math]

e quindi

[math]
\gamma \cdot \big(\frac{M_T}{D^2}\big) = a
[/math]

dove D è la distanza Terra – Luna.
Si ha che deve valere la seguente proporzione:

[math]
g : a = D^2 : R^2.
[/math]

Il modulo dell’accelerazione a della Luna può essere calcolata approssimativamente considerando il moto della Luna intorno alla Terra come circolare uniforme.

La massa della Terra

Nel 1798 Henry Cavendish riuscì a misurare in laboratorio la costante di attrazione gravitazionale
[math]
\gamma
[/math]
, più comunemente conosciuta con il simbolo G.
Lo strumento che gli permise di fare tale misurazione è la bilancia di torsione la quale è costituita da due piccole sfere di piombo di masse diverse, fissate alle estremità di un’asta leggera (di massa trascurabile) e sospesa per il suo punto medio ad un lungo e sottile filo. Tutto il dispositivo è posto in una custodia in modo da essere schermato da correnti convettive di aria. Altre due grosse sfere di piombo sono fissate in prossimità delle sferette. La forza gravitazionale esercitata dalle sfere grosse su quelle piccole fa ruotare il dispositivo mobile di un angolo proporzionale alla forza: misurando tale angolo di torsione, note le proprietà elastiche del filo di sospensione (costante elastica del filo), si può ricavare il valore della forza gravitazionale. La riflessione di un raggio luminoso sopra uno specchio fissato sul filo di torsione va su di una scala graduata sulla quale si legge l’angolo di torsione.
Ripetendo più volte questa esperienza variando il materiale con cui sono fatte le sfere, la loro distanza e le loro dimensioni Cavendish riuscì a stimare con buona approssimazione il valore della costante gravitazionale.
Noto il valore di G
[math]
G = \gamma = 6,67 \cdot 10^{-11 } m^3 Kg^{-1} s^{-2}
[/math]

Si può trovare indirettamente il valore della massa della Terra,

[math]
M_T
[/math]
.

Sia

[math]
R_T
[/math]
il raggio terrestre, la forza con cui la Terra attrae un qualunque corpo di massa m posto sulla sua superficie è data da:
[math]
F = \gamma \cdot \big(\frac{m M_T}{(R_T)^2}\big)
[/math]

conseguentemente, l’accelerazione di gravità,

[math]
g_T
[/math]
, è data da:
[math]
g = \frac{F}{m} = \gamma \cdot \frac{M_T}{(R_T)^2}
[/math]

da cui possiamo ricavare la massa

[math]
M_T
[/math]

[math]
M_T = \frac{g \cdot (R_T)^2}{\gamma}
[/math]

Sostituendo i valori numerici otteniamo che:

[math]
M_T = \frac{(9,8) \cdot (6,38 \cdot 10^6)^2)}{6,67 \cdot 10^{-11}} Kg
[/math]

essendo

[math]
R_T = 6,38 \cdot 10^6 m
[/math]

il raggio terrestre.

Massa della Luna in funzione della massa della Terra

L’accelerazione di gravità sulla superficie della Luna,
[math]
g_L
[/math]
, è circa un sesto dell’accelerazione di gravità sulla superficie della Terra,
[math]
g_T
[/math]
:
[math]
g_L = \frac{g_T}{6}.
[/math]

Sapendo inoltre che il raggio della Luna,

[math]
R_L
[/math]
, che supponiamo approssimativamente sferica, è circa un quarto di quello terrestre,
[math]
R_T
[/math]
:

[math]
R_L = \frac{R_T}{4}
[/math]

Si vuole esprimere la massa della Luna in funzione di quella della Terra.
Svolgimento
Sappiamo che

[math]
g_L = \frac{g_T}{6}
[/math]

[math]
R_L = \frac{R_T}{4}.
[/math]

La legge di attrazione gravitazionale fra due qualunque masse, m ed M, è data da:

[math]
F = \gamma \cdot \big(\frac{m M}{d^2}\big),
[/math]

dove F è la forza che M esercita su m e di è la distanza che le separa.
Tale forza, per il Secondo Principio della Dinamica, vale anche

[math]
F = m a,
[/math]

quindi dall’uguaglianza di queste due espressioni si ha che:

[math]
\gamma \cdot \big(\frac{m M}{d^2}\big) = m a
[/math]

da cui, dividendo entrambi i membri per la massa m, si ottiene:

[math]
a = \gamma \cdot \big(\frac{M}{d^2}\big).
[/math]

Il valore trovato per l’accelerazione, a, corrisponde a quello dell’accelerazione di gravità, quindi in generale possiamo scrivere:

[math]
g = \gamma \cdot \big(\frac{M}{d^2}\big).
[/math]

Il valore dell’accelerazione di gravità sulla Terra è dato da:

[math]
g_T = \gamma \cdot \big(\frac{M_T}{(R_T)^2}\big).
[/math]

Il valore dell’accelerazione di gravità sulla Luna è dato da:

[math]
g_L = \gamma \cdot \big(\frac{M_L}{(R_L)^2}\big).
[/math]

Da queste due relazioni ricaviamo la massa della Terra,

[math]
M_T
[/math]
, e la massa della Luna,
[math]
M_L
[/math]
, otteniamo che:
[math]
M_T = \frac{(R_T)^2 \cdot g_T}{\gamma}
[/math]

[math]
M_L = \frac{(R_L)^2 \cdot g_L}{\gamma}.
[/math]

Sapendo che l’accelerazione di gravità sulla Luna risulta essere un sesto di quella sulla Terra ed il raggio della Luna risulta essere un quarto di quello terrestre, sostituiamo queste informazioni alla formula della massa lunare:

[math]
g_L = \frac{g_T}{6}
[/math]

[math]
R_L = \frac{R_T}{4}
[/math]

e quindi

[math]
M_L = \frac{\big(\frac{R_T}{4}\big)^2 \cdot \frac{g_T}{6}}{\gamma}
[/math]

da cui

[math]
M_L = \frac{1}{\gamma} \cdot \frac{(R_T)^2}{16} \cdot \frac{g_T}{6}
[/math]

Quindi

[math]
M_L = \frac{1}{96} \cdot \frac{(R_T)^2 g_T}{\gamma}
[/math]

Osservando che

[math]
M_T = \frac{(R_T)^2 g_T}{\gamma}
[/math]

rappresenta la massa della Terra, si può concludere che

[math]
M_L = \frac{1}{96} \cdot M_T.
[/math]

per ulteriori approfondimenti sulla forza di attrazione gravitazionale vedi anche qua

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