_francesca.ricci
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Un corpo di massa
[math]1,0 kg[/math]
è lanciato verso l'alto lungo un piano inclinato di
[math]30°[/math]
da una molla compressa, avente costante elastica di
[math]500 N/m[/math]
, di
[math]10 cm[/math]
. Quanto spazio percorre sul piano dal momento in cui si distacca dalla molla?

Svolgimento

Risolviamo il problema mediante il teorema della conservazione dell'energia meccanica.

Nel caso in cui sia presente una molla, l'energia dell'oggetto che comprime la molla è data da tre unità: l'energia potenziale gravitazionale, l'energia cinetica e l'energia potenziale elastica:

[math] U_G = mgh[/math]

[math] k = 1/2 m v^2[/math]

[math] U_E = 1/2 kx^2[/math]

Sappiamo che l'energia nel punto iniziale è uguale a quella nel punto finale:

[math] E_i = E_f [/math]

[math] U_i + k + U_i = U_f + k + U_f [/math]

Nel punto iniziale la molla è compressa, quindi abbiamo un'energia potenziale elastica.

Tuttavia, prendendo come livello zero dell'energia potenziale gravitazionale il punto di partenza, qui non avremmo energia potenziale gravitazionale, e nemmeno energia cinetica, poiché la massa è ferma.

[math] E_i = U_E [/math]

L'energia iniziale è data dalla sola energia potenziale elastica.

Nel punto di arrivo, l'oggetto non possiede energia potenziale elastica, poiché la molla non è più compressa; esso, nel momento che consideriamo, è fermo, quindi non vi è nemmeno energia cinetica.

Poiché però si trova ad una certa altezza, possiede energia potenziale gravitazionale.

[math] E_f = U_G [/math]

In questo caso, l'energia è data dalla sola energia potenziale gravitazionale; abbiamo quindi che:

[math] U_E = U_G [/math]

[math] 1/2 kx^2 = mgh[/math]

Ricaviamo l'altezza raggiunta dalla massa:

[math] kx^2 = 2 mgh \to h = frac(kx^2)(2mg) [/math]

Sostituiamo i valori numerici, considerando che

[math]x[/math]
è la lunghezza del tratto di compressione della molla e
[math]k[/math]
la costante elastica:

[math] h = frac(500 N/m \cdot (0,1 m)^2)(2 \cdot 1,0 kg \cdot 9,8 m/s^2) = 0,255 m [/math]

Possiamo ricavare il tratto percorso dalla massa considerando le regole della trigonometria: lo spazio che stiamo cercando corrisponde all'ipotenusa di un triangolo rettangolo, che ha un angolo di

[math]30°[/math]
e un cateto che misura
[math]0,255m[/math]
.

L'ipotenusa è data dal rapporto fra il cateto ed il seno dell'angolo:

[math] s = frac(h)(\\sin (30°)) = frac(0,255 m)(0,5) = 0,51 m [/math]