[math] g [/math]
e pari a [math] 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} [/math]
.
Velocità di caduta di un corpo
In questo paragrafo e nei successivi supporremo sempre di star trascurando la resistenza dell'aria. Se si trascura la resistenza dell'aria, un corpo in caduta da una certa altezza[math] h [/math]
non ha velocità costante. Infatti, esso si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, dove l'accelerazione del caso è [math] g \sim 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} [/math]
.Il tempo di volo
[math] t_v [/math]
associato ad un corpo in caduta libera si può ricavare tramite la formula inversa della legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato. Difatti:[math] s = \frac{1}{2}at^2 \rightarrow t = \sqrt{\frac{2s}{a}} \rightarrow t_v = \sqrt{\frac{2h}{g}} [/math]
[math] a = \frac{v}{t} [/math]
per definizione di accelerazione, è possibile calcolare la velocità in un certo istante [math] t [/math]
tramite la formula:[math] v_t = g \cdot t [/math]
Per approfondimenti sul moto rettilineo uniformemente accelerato, vedi anche qua
Traccia del problema
Un peso di massa[math] 8,0 \text{kg} [/math]
è appeso a un'altezza di [math] 10 \text{m} [/math]
dal suolo. Il filo che lo sostiene all'improvviso si rompe e il peso cade, in assenza di forze esterne.- Quanto vale la velocità acquistata quando si trova a [math]4,0 \text{m} [/math]dal suolo?
- A che altezza si trova quando possiede una velocità di [math]6,0 \frac{\text{m}}{\text{s}}[/math]?
Svolgimento parte 1
Poniamo come livello zero dell'energia potenziale il pavimento; secondo il teorema della conservazione dell'energia meccanica, l'energia del peso nel punto di partenza (quando si trova ad un'altezza di[math]10 \text{m} [/math]
) è uguale a quella nel punto di arrivo (all'altezza di [math] 4,0 \text{m} [/math]
):
[math] E_i = E_f \to U_i + k_i = U_f + k_f [/math]
Sappiamo che in entrambi gli stadi il peso possiede energia potenziale gravitazionale, poiché si trova ad una determinata altezza. Tuttavia, nello stato iniziale esso è fermo, quindi non possiede energia cinetica (cioè [math] k_i = 0 [/math]):
[math] U_i = U_f + k_f \to mgh_i = 1/2 m v_f ^2 + mgh_f [/math]
Possiamo semplificare la massa (del resto è interessante notare che la massa non influisce sul risultato del problema, è un dato abbondante):
[math] gh_i = 1/2 v_f ^2 + gh_f [/math]
Ricaviamo ora la velocità:
[math] 2gh_i = v_f ^2 + 2gh_f \to v_f^2 = 2gh_i - 2gh_f[/math]
Estraendo la radice si ha quindi:
[math]v_f = \sqrt{2gh_i - 2gh_f} = \sqrt{2g (h_i - h_f)} [/math]
Determiniamo la velocità:
[math] v_f = \sqrt{2 \cdot 9,8 m/s^2 \cdot (10 m - 4,0 m )} \sim 10,84 m/s \sim 11 m/s [/math]
Vediamo ora un modo alternativo di svolgere la parte 1.
Quando il corpo si troverà ad un altezza di
[math] 4 \text{m} [/math]
rispetto al suolo, vorrà dire che avrà percorso una distanza verticale [math] s = 6 \text{m}[/math]
.Possiamo quindi calcolare il tempo di volo
[math] t_v [/math]
:[math] t_v = \sqrt{\frac{2s}{g}} \sim 1,11 \text{s} [/math]
[math] v_t = g \cdot t [/math]
, di conseguenza: [math] v_t = 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 1,11 \text{s} \sim 10,89 m/s \sim 11 m/s [/math]
Svolgimento parte 2
Utilizzando ancora il teorema della conservazione dell'energia meccanica, possiamo determinare l'altezza del peso quando assume una velocità di[math]6,0 m/s[/math]
.
Consideriamo quindi lo stato iniziale quello in cui si trova a
[math]10 \text{m}[/math]
dal suolo, e nel quale possiede solo energia potenziale.Lo stato finale è quello in cui ha una velocità di
[math]6,0 m/s[/math]
e ha quindi energia cinetica, e, poiché si trova ad una determinata altezza, possiede anche energia potenziale:[math] E_i = E_f \to U_i + k_i = U_f + k_f [/math]
Ricordando poi che
[math] U = mgh, K = \frac{1}{2}mv^2 [/math]
si ottiene:[math] mgh_i = mgh_f + 1/2 m v_f ^2 [/math]
[math] gh_i = gh_f + 1/2 v_f ^2 [/math]
[math] 2gh_i = 2gh_f + v_f ^2 \to 2gh_f = 2gh_i - v_f^2 \to h_f = \frac{2gh_i - v_f^2}{2g} [/math]
Troviamo ora il valore dell'altezza:
[math] h_f = \frac{2 \cdot 9,8 m/s^2 \cdot 10m - (6,0 m/s)^2}{2 \cdot 9,8 m/s^2} \sim 8,16 m \sim 8,2 m [/math]
Per approfondimenti sul principio di conservazione dell'energia, vedi anche qua
