Un vigile urbano viaggia in moto alla velocit di [math]36 (km)/h[/math]
, e viene superato da unautomobile alla velocit di [math]72 (km)/h[/math]
. Il vigile accelera al massimo per raggiungerlo ma nello stesso istante anche lautomobilista accelera per fuggire.
La massa del vigile e della moto di [math]300 kg[/math]
e la forza massima del suo motore [math]6.0 kN[/math]
. La massa del guidatore e dellautomobile [math]900 kg[/math]
e la forza massima del suo motore [math]12 kN[/math]
.
- Dopo quanto tempo il vigile riesce a raggiungere il guidatore?
Svolgimento
Prima di tutto, trasformiamo le velocit in m/s, perch ci saranno pi comode in seguito:
[math] 36 (km)/h = frac(36)(3,6) = 10 m/s [/math]
[math] 72 (km)/h = frac(72)(3,6) = 20 m/s [/math]
Ora calcoliamo con quale accelerazione i guidatori avanzano quando accelerano, usando la formula della seconda legge della dinamica:
[math] F = m \cdot a o a = F/m [/math]
[math] a_v = frac(F_v)(m_v) = frac(6,0 kN)(300 kg) = frac(6000 N)(300 kg) = 20 N/(kg) [/math]
[math] a_a = frac(F_a)(m_a) = frac(12 kN)(900 kg) = frac(12000 N)(900 kg) = 13,3 N/(kg) [/math]
A questo punto, dobbiamo calcolare dopo quanto tempo il vigile riesce a raggiungere il guidatore; questo accadr quando entrambi avranno percorso lo stesso spazio.
Quindi troviamo lo spazio di entrambi con la formula del moto uniformemente accelerato (
[math]s = s_0 + v_0 t + 1/2 at^2 [/math]
), poi li uguagliamo creando cos unequazione, che risolvendo, ci permetter di trovare il tempo impiegato.
[math]s_v = v_0 t + 1/2 at^2 = 10 t + 1/2 \cdot 20 \cdot t^2 = 10 t + 10 t^2[/math]
[math]s_a = v_0 t + 1/2 at^2 = 20 t + 1/2 \cdot 13,3 \cdot t^2 = 20 t + 6,65 t^2[/math]
Poniamo
[math] s_a = s_v [/math]
[math] 10 t + 10 t^2 = 20 t + 6,65 t^2[/math]
Risolviamo e troviamo il tempo:
[math] 10 t + 10 t^2 - 20 t - 6,65 t^2 = 0[/math]
[math] 3,35 t^2 - 10 t = 0 [/math]
Con la legge di annullamento del prodotto si ottiene:
[math] t = 0 ? t = frac(10)(3,35) = 2,98 s [/math]
Escludiamo il risultato nullo e consideriamo
[math]t = 2,98 s[/math]
.
