Numeri complessi: Decomporre nella forma (z - z_1)(z - z_2) il seguente polinomio: z^2 + z + 1

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Per poter risolver l'esercizio, occorre calcolare le soluzioni dell'equazione

[math] z^2 + z + 1 = 0[/math]

; possiamo applicare la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado

[math] x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} [/math]

[math] z = \frac{-(-1) \pm \sqrt{ 1^2 - 4}}{2} = \frac{ 1 \pm \sqrt(1 - 4)}{2} = [/math]

[math] \frac{ 1 \pm \sqrt{-3}}{2} [/math]

Nel se il dominio in cui lavorare fosse stato R, avremmo detto che l'equazione non ammette soluzioni, essendo il

[math] \Delta [/math]

negativo; in questo caso, per, lavorando con i numeri complessi, possiamo comunque ottenere delle soluzioni, che saranno soluzioni complesse.

Ricordando che

[math] i^2 = -1[/math]

e quindi

[math]i = \sqrt{-1}[/math]

, possiamo procedere nel seguente modo:

[math] \frac{ 1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{ 1 \pm \sqrt(- 1 \cdot 3)}{2} = [/math]

[math] \frac{ 1 \pm \sqrt{-1} \cdot \sqrt3 }{2} = \frac{ 1 \pm i \cdot \sqrt3 }{2} [/math]

Otteniamo quindi le soluzioni :

[math] z = \frac{ 1 + i \cdot \sqrt3 }{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2} i[/math]

[math] z = \frac{ 1 - i \cdot \sqrt3 }{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2} i[/math]

Queste soluzioni ci permettono di scrivere il polinomio nella forma desiderata:

[math] z^2 - 5z + 6 = (z - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2} i)(z - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2} i) [/math]

Numeri complessi: Decomporre nella forma [math] (z - z_1)(z - z_2) [/math] il seguente polinomio: [math] z^2 + z + 1 [/math]