Il problema richiede di determinare il numero complesso della forma
[math]a + ib[/math]
ottenibile dal coniugato di una frazione, costituita da un numeratore e un denominatore complessi.Per farlo, lasciamo il simboli di coniugato finche non abbiamo un numero della forma
[math]a + ib[/math]
, e solo successivamente calcoliamo il coniugato del numero.Cominciamo quindi moltiplicando numeratore e denominatore della frazione per il complesso coniugato del suo denominatore, cioè per
[math] 1 + i [/math]
:
[math] \overline{ \Big( \frac{2 - 3i}{1 - i} \Big) } = \overline { \Big( \frac{2 - 3i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} \Big) } [/math]
Moltiplichiamo numeratore e denominatore:
[math] \overline { \Big( \frac{(2 - 3i) \cdot (1 + i) }{(1 - i) \cdot (1 + i)} \Big) } [/math]
Svolgiamo i prodotti:
[math] \overline { \Big( \frac{2 - 3i + 2i + 3}{1 + i^2} \Big) } [/math]
Applicando le proprietà riguardanti l'unità immaginaria, cioè il fatto che
[math]i^2 = -1[/math]
, otteniamo:
[math] \overline { \Big( \frac{2 - 3i + 2i + 3}{1 + i^2} \Big) } = \overline { \Big( \frac{5 - i}{2} \Big)} [/math]
Dividiamo ciascun addendo del numeratore per il denominatore:
[math] \overline { \Big( \frac{5 - i}{2} \Big)} = \overline { \Big( \frac{5}{2} - \frac{i}{2} \Big) } [/math]
A questo punto, abbiamo il numero complesso nella forma desiderata; calcoliamo quindi il suo coniugato:
[math] \overline { \Big( \frac{5}{2} - \frac{i}{2} \Big)} = \frac{5}{2} + \frac{i}{2} [/math]
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