_stan
di _stan
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Per determinare parte reale e parte immaginaria di un numero complesso dobbiamo poter scrivere il numero z nella forma

[math]a+ib[/math]
.

In questo caso si ha la differenza di due numeri complessi (coniugati) elevati alla quarta potenza. Per poter scrivere il numero nella forma desiderata, possiamo procedere notando che tale differenza può essere vista come differenza di due quadrati:

[math] z = (1+2i)^4 - (1-2i)^4 = [(1+2i)^2]^2 - [(1-2i)^2]^2 [/math]

Ricordiamo che la differenza di due quadrati

[math]a^2 - b^2[/math]
si può scrivere come
[math](a+b)(a-b)[/math]
; nel nostro caso si ottiene:

[math] z = [(1+2i)^2]^2 - [(1-2i)^2]^2 = [(1+2i)^2 - (1-2i)^2] \cdot [(1+2i)^2 + (1-2i)^2] [/math]

All'interno delle prime parentesi quadre riconosciamo ancora una volta la differenza di due quadrati; a questo punto, tuttavia, è più conveniente svolgere i quadrati dei numeri complessi, in quinto otterremo diversi termini che si annulleranno a vicenda:

[math] z = [1 + 4i^2 + 4i - (1 + 4i^2 - 4i)] \cdot [1 + 4i^2 + 4i + 1 + 4i^2 - 4i] [/math]

Ricordiamo la proprietà dei numeri complessi per cui

[math]i^2 = -1[/math]
; procediamo quindi con lo svolgimento delle operazioni all'interno delle parentesi quadre:

[math] z = [1 + 4 \cdot (-1) + 4i - (1 + 4 \cdot (-1) - 4i)] \cdot [1 + 4 \cdot (-1) + 4i + 1 + 4 \cdot (-1) - 4i] =[/math]

[math] [1 - 4 + 4i - (1 - 4 - 4i)] \cdot [1 - 4 + 4i + 1 - 4 - 4i] = [/math]

[math] [1 - 4 + 4i - 1 + 4 + 4i] \cdot [1 - 4 + 4i + 1 - 4 - 4i] = [/math]

[math] [ 8i] \cdot [- 6] = - 48 i [/math]

Possiamo ora determinare quale la parte reale e la parte immaginaria del numero

[math]z[/math]
:

[math] Re(z) = 0 \, \, \, \, , \, \, \, \, Im(z) = - 48 [/math]

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