Per determinare parte reale e parte immaginaria di un numero complesso dobbiamo poter scrivere il numero z nella forma
[math]a+ib[/math]
; nel nostro caso si ha una [math]i[/math]
al denominatore che deve essere portata al numeratore.Possiamo procedere moltiplicando numeratore e denominatore della nostra frazione per il coniugato del denominatore:
[math] z = i + \frac{3}{2-i} = i + \frac{3}{2-i} \cdot \frac{2+i}{2+i} [/math]
Svolgiamo la moltiplicazione:
[math] z = i + \frac{3 \cdot (2+i)}{(2-i)(2+i)} = i + \frac{6 + 3i}{4 - i^2} [/math]
Ricordiamo che una delle proprietà fondamentali dei numero complessi è la relazione
[math] i^2 = -1[/math]
; quindi abbiamo:
[math] z = i + \frac{6 + 3i}{4 - i^2} = i + \frac{6 + 3i}{4 - (-1)} = [/math]
[math] i + \frac{6 + 3i}{4 + 1} = i + \frac{6 + 3i}{5} [/math]
A questo punto possiamo effettuare il minimo comune multiplo e sommare i due termini:
[math] z = i + \frac{6 + 3i}{5} = \frac{5i + 6 + 3i}{5} = \frac{8i + 6}{5} [/math]
Possiamo ora scrivere il numero
[math]z[/math]
nella forma desiderata:
[math] z = \frac{8i + 6}{5} = \frac{8}{5i} + \frac{6}{5} [/math]
Da questa scrittura possiamo facilmente determinare quale sia la parte reale e quale la parte immaginaria del numero
[math]z[/math]
:
[math] Re(z) = \frac{6}{5} , Im(z) = \frac{8}{5} [/math]
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