Per risolvere unequazione di questo tipo dobbiamo procedere considerando la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Un numero complesso
[math]z[/math]
pu essere scritto in questo modo:
[math] z = \
ho e^{i heta}[/math]
dove
[math]\
ho[/math]
rappresenta il modulo di
[math]z[/math]
, mentre
[math] heta[/math]
un angolo che rappresenta largomento del numero complesso.
Langolo
[math] heta[/math]
servir per determinare la posizione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica; ricordiamo, infatti, che vale la seguente uguaglianza:
[math] e^{i heta} = \\cos( heta) + i \\sin( heta) [/math]
La nostra equazione, quindi, pu essere espressa in una nuova forma, pi facilmente risolvibile:
[math] (\
ho e^{i heta})^3 = 1 o \
ho^3 e^{ 3i heta} = 1 [/math]
Notiamo che, affinch luguaglianza sia verificata, necessario che
[math] \
ho = 1[/math]
e che
[math] e^{i heta} = e^0 = 1[/math]
.
[math] e^{ 3i heta} = e^{0 + 2k?} = 1[/math]
Possiamo quindi impostare il seguente sistema:
[math] \begin{cases} \
ho^3 = 1 \\ 3 heta = 0 + 2k \pi \ \end{cases} [/math]
Nella risoluzione dellequazione dobbiamo tener conto del fatto che, poich lesponente di
[math]z[/math]
3, avremo esattamente tre soluzioni; ci significa che i valori che pu assumere il coefficiente
[math]k[/math]
sono
[math] 0, 1, 2[/math]
.
Dalla prima equazione risulta evidente che deve essere
[math] \
ho = 1[/math]
.
Risolviamo ora la seconda equazione; ricordiamo che sono validi tutti gli angoli
[math] heta[/math]
multipli di
[math]360[/math]
:
[math] e^{ 3i heta} = e^{0} o 3 heta = 2k? [/math]
Quindi:
[math] heta = frac(2k?)(3) [/math]
Determiniamo i tre angoli che individuano le tre soluzioni dellequazione:
[math] k = 0 o heta = 0 [/math]
[math] k = 1 o heta = frac(2?)(3) [/math]
[math] k = 2 o heta = frac(4?)(3) [/math]
Ora dobbiamo scrivere i numeri complessi
[math] z_1[/math]
,
[math] z_2[/math]
,
[math] z_3[/math]
nella forma
[math] a + ib[/math]
.
Per farlo, ricorriamo alla rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, ovvero sfruttiamo luguaglianza:
[math] z = e^{i heta} = \\cos( heta) + i \\sin( heta) [/math]
Nel primo caso abbiamo:
[math] z_1 = \\cos(0) + i \\sin(0) = 1 [/math]
Nel secondo caso:
[math] z_2 = \\cos(frac(2?)(3)) + i \\sin(frac(2?)(3)) = -1/2 + frac(\sqrt3){2} i [/math]
E nellultimo caso:
[math] z_3 = \\cos(frac(4?)(3)) + i \\sin(frac(4?)(3)) = -1/2 - frac(\sqrt3){2} i [/math]
Come possiamo notare, le soluzioni sono una reale e due complesse coniugate; rappresentando le soluzioni ottenute su una circonferenza goniometrica possiamo notare che esse individuano i vertici di un triangolo equilatero.
