Per risolvere un'equazione di questo tipo dobbiamo procedere considerando la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Un numero complesso
[math]z[/math]
può essere scritto in questo modo:
[math] z = \
ho e^{i \theta}[/math]
dove
[math]\
ho[/math]
rappresenta il modulo di
[math]z[/math]
, mentre
[math]\theta[/math]
è un angolo che rappresenta l'argomento del numero complesso.
L'angolo
[math]\theta[/math]
servirà per determinare la posizione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica; ricordiamo, infatti, che vale la seguente uguaglianza:
[math] e^{i \theta} = \\cos(\theta) + i \\sin (\theta) [/math]
Vediamo, quindi, come esprimere in forma esponenziale tutti i termini della nostra equazione.
[math] (iz)^3 = i^3 \cdot z^3 [/math]
Iniziamo dal termine
[math]i^3[/math]
; dalla relazione fondamentale si ha che
[math]i^2 = -1[/math]
, quindi:
[math]i^3 = i^2 \cdot i = - i [/math]
Tale numero complesso può essere rappresentato da
[math] e^{ 3/2 π i}[/math]
, infatti:
[math] e^{ i 3/2 π} = \\cos(3/2 π) + i \\sin (3/2 π) = - i [/math]
Mentre il termine
[math] z^3[/math]
può essere rappresentato come:
[math] z^3= (\
ho e^{i \theta})^3 = \
ho^3 e^{ i 3\theta} [/math]
Ora consideriamo i termini
[math]z[/math]
e
[math]\bar{z}[/math]
; possiamo esprimere i due termini nel seguente modo:
[math] z = \
ho e^{i \theta} , \bar{z} = \
ho e^{ -i \theta}[/math]
In quanto se
[math]z[/math]
è espresso da:
[math] e^{i \theta} = \\cos(\theta) + i \\sin (\theta) [/math]
necessariamente il suo coniugato sarà:
[math] \\cos(\theta) - i \\sin (\theta) = e^{ - i \theta} [/math]
Torniamo ora alla nostra equazione e scriviamo tutti i termini in forma esponenziale:
[math] e^{ 3/2 π i} \cdot \
ho^3 e^{ i 3\theta} = \
ho e^{i \theta} \cdot \
ho e^{- i \theta} [/math]
Svolgiamo i prodotti al primo e al secondo membro:
[math] \
ho^3 \cdot e^{ 3/2 π i + i 3\theta} = \
ho^2 \cdot e^{i \theta - i \theta} [/math]
Da cui si ottiene:
[math] \
ho^3 \cdot e^{ i (3/2 π + 3\theta)} = \
ho^2 [/math]
Da questa relazione, procediamo impostando un sistema che rappresenta le condizioni che devono essere verificate per ottenere l'uguaglianza:
[math] \begin{cases} & ( \
ho^3 = \
ho^2 \\ e^{ i (3/2 π + 3\theta)} = e^0 = 1 \ \end{cases} [/math]
Nella risoluzione dell'equazione dobbiamo tener conto del fatto che, poiché l'esponente di
[math]z[/math]
massimo è 3, quindi avremo esattamente tre soluzioni.
Dalla prima equazione risulta evidente che deve essere
[math] ro = 1 V \
ho = 0[/math]
.
Risolviamo ora la seconda equazione; ricordiamo che sonho validi tutti gli angoli
[math]\theta[/math]
multipli di
[math]360°[/math]
.
[math] e^{ i (3/2 π + 3\theta)} = e^0 \to 3/2 π + 3\theta = 2kπ [/math]
Quindi:
[math] 3\theta = 2kπ - 3/2 π \to \theta = frac(2kπ - 3/2 π)(3) [/math]
[math] \theta = frac(4kπ - 3π)(6) [/math]
Dato che dobbiamo ottenere esattamente tre soluzioni, i valori che può assumere il coefficiente
[math]k[/math]
sono
[math] 0, 1, 2[/math]
.
Determiniamo i tre angoli che individuano le tre soluzioni dell'equazione:
[math] k = 0 \to \theta = -π/2 [/math]
[math] k = 1 \to \theta = frac(π)(6) [/math]
[math] k = 2 \to \theta = frac(5π)(6) [/math]
Ora dobbiamo scrivere i numeri complessi
[math] z_1[/math]
,
[math] z_2[/math]
,
[math] z_3[/math]
nella forma
[math] a + ib[/math]
.
Per farlo, ricorriamo alla rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, ovvero sfruttiamo l'uguaglianza:
[math] z = e^{i \theta} = \\cos(\theta) + i \\sin (\theta) [/math]
Nel primo caso abbiamo:
[math] z_1 = \\cos(-π/2) + i \\sin (-π/2) = - i [/math]
Nel secondo caso:
[math] z_2 = \\cos(π/6) + i \\sin (π/6) = frac(\sqrt3){2} + frac(1){2} i [/math]
Nel terzo caso:
[math] z_3 = \\cos(5π/6) + i \\sin (5π/6) = - frac(\sqrt3){2} + frac(1){2} i [/math]
Nel caso
[math]\
ho=0[/math]
abbiamo la soluzione nulla, ovvero
[math]z=0[/math]
.
Come possiamo notare, le soluzioni sono tutte e quattro complesse, a due a due coniugate; rappresentando le soluzioni ottenute su una circonferenza goniometrica possiamo notare che esse individuano i vertici di un triangolo equilatero.
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