Possiamo risolvere l'equazione con la normale formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado:
[math] z = \frac{3i \pm \sqrt{(3i)^2- 4 \cdot (-2)} }{2} [/math]
Ricordiamo la relazione fondamentale per cui
[math] i^2 = -1[/math]
:
[math] z = \frac{3i \pm \sqrt{ -9 + 8} }{2} = \frac{3i \pm \sqrt{ -1} }{2} [/math]
Per determinare il valore di
[math]\sqrt{-1}[/math]
possiamo procedere in due modi: possiamo utilizzare la notazione trigonometrica dei numeri complessi, oppure esprimere impostando un'equazione.
Vediamo il primo procedimento.
Sappiamo che un numero complesso
[math]z[/math]
pu essere espresso nel seguente modo:
[math] z = \rho (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) [/math]
In questo caso, dovendo rappresentare il numero
[math]-1[/math]
, il modulo unitario; dobbiamo quindi trovare un angolo
[math]\theta[/math]
tale per cui:
[math] \cos(\theta) + i \sin(\theta) = - 1 [/math]
.
In questo caso, tale angolo può essere individuato facilmente, non dovendo fare calcoli aggiuntivi; l'angolo cercato è
[math]\theta = \pi [/math]
.
Ora, sappiamo che vale la seguente relazione:
[math] e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) [/math]
Nel nostro caso, quindi, abbiamo:
[math] - 1 = \cos(\pi) + i \sin(\pi ) = e^{i \pi} [/math]
Poiché stiamo cercando una rappresentazione del numero
[math] \sqrt{-1}[/math]
, e sapendo che:
[math] \sqrt{-1} = {-1}^{\frac{1}{2}}[/math]
possiamo scrivere:
[math] \sqrt{-1} = (e^{i?})^{1/2} = e^{i\frac{?}{2}} [/math]
Infine, volendo rappresentare tale numero nella forma
[math]a + ib[/math]
, possiamo riutilizzare la notazione trigonometrica:
[math] \sqrt{-1} = e^{i \frac{\pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = i [/math]
Vediamo ora il secondo possibile procedimento.
Cerchiamo un numero complesso nella forma
[math] a + ib[/math]
che sia uguale a
[math]\sqrt{-1}[/math]
.
Impostiamo quindi l'equazione:
[math] a + ib = \sqrt{-1}[/math]
Eleviamo entrambi i membri al quadrato:
[math] (a + ib)^2 = (\sqrt{-1})^2[/math]
Otteniamo:
[math] (a + ib)^2 = -1 [/math]
L'unico numero complesso che soddisfa tale relazione appunto
[math]i[/math]
(in realtà anche
[math]-i[/math]
soddisfa tale relazione, ma ai fini del nostro esercizio possiamo non considerare il segno e prendere solo
[math]i[/math]
come soluzione.
Torniamo dunque alla formula risolutiva dell'equazione iniziale, e sostituiamo il valore di
[math]\sqrt{-1}[/math]
trovato precedentemente:
[math] z = \frac{3i \pm \sqrt{ -1} }{2} = \frac{3i \pm i }{2} [/math]
I due valori di
[math]z[/math]
sono:
[math] z_1 = \frac{3i + i }{2} = 2i [/math]
[math] z_2 = \frac{3i - i }{2} = i [/math]
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