Per risolvere l'equazione non conveniente utilizzare la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Procediamo, quindi, rappresentando il numero complesso
[math]z[/math]
nella forma
[math] a + ib[/math]
, e sostituendo all'interno dell'equazione; ricordiamo che se
[math] z = a + ib[/math]
, allora si ha che:
[math] \bar{z} = a - ib[/math]
[math] |z| = \sqrt{a^2 + b^2} [/math]
Procediamo con la sostituzione:
[math] (a + ib)^2 = ( a - ib )^2 \cdot (4 (\sqrt{a^2 + b^2})^2 - 1 ) [/math]
Svolgiamo i calcoli a primo e secondo membro:
[math] a^2 + (ib)^2 + 2abi = (a^2 + (-ib)^2 - 2abi) \cdot (4 (a^2 + b^2) - 1 ) [/math]
Ricordiamo la relazione fondamentale per cui
[math] i^2 = -1[/math]
:
[math] a^2 - b^2 + 2abi = (a^2 - b^2 - 2abi) \cdot (4 a^2 + 4b^2 - 1 ) [/math]
Svolgiamo il prodotto a secondo membro:
[math] a^2 - b^2 + 2abi = 4a^4 + 4a^2b^2 - a^2 - 4a^2b^2 - 4b^4 +b^2 - 8a^3b i - 8 ab^3 i + 2ab i[/math]
[math] a^2 - b^2 + 2abi - 4a^4 - 4a^2b^2 + a^2 + 4a^2b^2 + 4b^4 - b^2 + 8a^3b i + 8 ab^3 i - 2ab i= 0 [/math]
Eliminiamo i termini opposti:
[math] a^2 - b^2 + 2abi - 4a^4 + a^2 + 4b^4 - b^2 + 8a^3b i + 8 ab^3 i - 2ab i= 0 [/math]
[math] 2a^2 - 2b^2 - 4a^4 + 4b^4 + 8a^3b i + 8 ab^3 i = 0 [/math]
Ora che abbiamo semplificato l'equazione, possiamo procedere al passo successivo: per determinare i valori di
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
che soddisfano l'uguaglianza, dobbiamo uguagliare parti reali e parti immaginarie.
In questo caso, quindi, deve valere il seguente sistema:
[math] \begin{cases} 8a^3b + 8 ab^3 = 0 \\ 2a^2 - 2b^2 - 4a^4 + 4b^4 = 0 \end{cases} [/math]
Dalla prima equazione si ha:
[math] a^3b + ab^3 = 0 [/math]
Mettiamo in evidenza il termine
[math]ab[/math]
:
[math] ab (a^2 + b^2) = 0 [/math]
Poiché il secondo fattore sempre positivo o nullo, l'uguaglianza verificata per
[math] ab = 0[/math]
, ovvero
[math] a = 0 V b = 0[/math]
.
Studiamo, quindi, cosa accade nella seconda equazione per i valori di
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
determinati al passo precedente:
[math] a = 0 \to - 2b^2 + 4b^4 = 0 [/math]
Risolviamo in
[math]b[/math]
:
[math] - b^2 + 2b^4 = 0 \to 2b^4 - b^2 = 0 [/math]
[math] b^2 (2b^2 - 1) = 0 [/math]
Da cui si ottengono i seguenti valori di
[math]b[/math]
:
[math] b^2 = 0 \to b = 0 [/math]
[math] 2b^2 - 1 = 0 \to b^2 = 1/2 \to b = \pm \frac{1}{\sqrt2} [/math]
Applichiamo lo stesso procedimento nel caso
[math] b = 0[/math]
:
[math] b = 0 \to 2a^2 - 4a^4 = 0 [/math]
[math] a^2 - 2a^4 = 0 \to 2a^4 - a^2 = 0 [/math]
[math] a^2 (2a^2 - 1) = 0 [/math]
Da cui si ottengono i seguenti valori di
[math]a[/math]
:
[math] a^2 = 0 \to a = 0[/math]
[math] 2a^2 - 1 = 0 \to a^2 = 1/2 \to a = \pm \frac{1}{\sqrt2} [/math]
Concludiamo, quindi, che i numeri complessi che soddisfano l'equazione iniziale sono quelli per cui:
[math] b = 0 , a = \pm \frac{1}{\sqrt2} [/math]
ovvero:
[math] z_(1,2) = \pm \frac{1}{\sqrt2} [/math]
e quelli per cui:
[math] a = 0 , b = \pm \frac{1}{\sqrt2} [/math]
ovvero:
[math] z_(3,4) = \pm i \frac{1}{\sqrt2} [/math]
E inoltre valida anche la soluzione nulla, ovvero
[math]z=0[/math]
.
Potrebbe interessarti anche
