Per risolvere un'equazione di questo tipo dobbiamo procedere considerando la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Un numero complesso
[math]z[/math]
può essere scritto in questo modo:
[math] z = \
ho e^{i \theta}[/math]
dove
[math]ro[/math]
rappresenta il modulo di
[math]z[/math]
, mentre
[math]\theta[/math]
è un angolo che rappresenta l'argomento del numero complesso.
L'angolo
[math]\theta[/math]
servirà per determinare la posizione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica; ricordiamo, infatti, che vale la seguente uguaglianza:
[math] e^{i \theta} = \\cos(\theta) + i \\sin (\theta) [/math]
La nostra equazione, quindi, può essere espressa in una nuova forma, più facilmente risolvibile:
[math] (\
ho e^{i \theta})^4 = -1 \to \
ho^4 e^{ 4i \theta} = -1 [/math]
Notiamo che, affinché l'uguaglianza sia verificata, è necessario che
[math] \
ho = 1[/math]
e che
[math] e^{i \theta} = e^{iπ} = -1[/math]
, in quanto, ricordando la notazione esponenziale, si ha:
[math] e^{i \pi} = \\cos(\pi) + i \\sin (\pi) = -1 [/math]
Possiamo quindi impostare il seguente sistema:
SISTEMA
Nella risoluzione dell'equazione dobbiamo tener conto del fatto che, poiché l'esponente di
[math]z[/math]
è 4, avremo esattamente quattro soluzioni; ciò significa che i valori che può assumere il coefficiente
[math]k[/math]
sono
[math] 0, 1, 2, 3[/math]
.
Dalla prima equazione risulta evidente che deve essere
[math] \
ho = 1[/math]
.
Risolviamo ora la seconda equazione; ricordiamo che sono validi tutti gli angoli
[math]\theta[/math]
multipli di
[math]360°[/math]
:
[math] e^{ 4i \theta} = e^{\pi} \to 4\theta = \pi + 2k\pi [/math]
Quindi:
[math] \theta = frac(\pi + 2k \pi)(4) [/math]
Determiniamo i tre angoli che individuano le tre soluzioni dell'equazione:
[math] k = 0 \to \theta = π/4 [/math]
[math] k = 1 \to \theta = frac(3π)(4) [/math]
[math] k = 2 \to \theta = frac(5π)(4) [/math]
[math] k = 3 \to \theta = frac(7π)(4) [/math]
Ora dobbiamo scrivere i numeri complessi
[math] z_1[/math]
,
[math] z_2[/math]
,
[math] z_3[/math]
e
[math] z_4[/math]
nella forma
[math] a + ib[/math]
.
Per farlo, ricorriamo alla rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, ovvero sfruttiamo l'uguaglianza:
[math] z = e^{i \theta} = \\cos(\theta) + i \\sin (\theta) [/math]
Nel primo caso abbiamo:
[math] z_1 = \\cos(π/4) + i \\sin (π/4) = frac(\sqrt2){2} + frac(\sqrt2){2} i [/math]
Nel secondo caso:
[math] z_2 = \\cos(3π/4) + i \\sin (3π/4) = - frac(\sqrt2){2} + frac(\sqrt2){2} i [/math]
Nel terzo caso:
[math] z_3 = \\cos(5π/4) + i \\sin (5π/4) = - frac(\sqrt2){2} - frac(\sqrt2){2} i [/math]
Infine, la quarta soluzione è:
[math] z_4 = \\cos(7π/4) + i \\sin (7π/4) = frac(\sqrt2){2} - frac(\sqrt2){2} i [/math]
Come possiamo notare, le soluzioni sono tutte e quattro complesse, a due a due coniugate; rappresentando le soluzioni ottenute su una circonferenza goniometrica possiamo notare che esse individuano i vertici di un quadrato.
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