I circuiti integrati prodotti da un certo impianto sono difettosi con probabilità 0,25, indipendentemente l’uno dall’altro. Se si testa un campione di 1000 pezzi, con che probabilità se ne troveranno meno di 240 difettosi?

Consideriamo una successione di variabili aleatorie ${X_n}$ tali che $X_i$ assume il valore 1 se l’i-esimo circuito è difettoso, e assume il valore 0 altrimenti.

Le variabili aleatorie $X_i$ sono tra loro indipendenti e seguono una legge di Bernoulli con probabilità di successo p = 0,25 (probabilità che i circuiti siano difettosi).

Per trovare il numero di circuiti difettosi, consideriamo la somma campionaria delle variabili aleatorie precedentemente definite:

$ X = S_n = X_1 + …. + X_n $

Tale variabile aleatoria segue una legge Binomiale di parametri p = 0,25 e n = 1000 (dimensione del campione, associabile al numero di prove).

Possiamo calcolare media e varianza di X applicando le formule note:

$E[X] = np = 1000 * 0,25 = 250 $

$Var[X] = np(1-p) = 1000 * 0,25 * 0,75 = 187,5 $

Per determinare la probabilità richiesta dal problema possiamo utilizzare l’approssimazione normale: se ad X sottraiamo la sua media e dividiamo per la sua deviazione standard otteniamo una variabile aleatoria che si comporta approssimativamente come una normale standard.

Per calcolare la probabilità che meno di 240 pezzi risultino difettosi, dobbiamo calcolare la probabilità che X, che indica appunto il numero di circuiti difettosi, assuma un valore minore di 240:

$P(X < 240) = P(X ≤ 239,5) = $

$ P( frac(X – E[X])(sqrt(Var(X))) ≤ frac(239,5 – E[X])(sqrt(Var(X))) ) = $

$ Φ( frac(239,5 – E[X])(sqrt(Var(X))) ) = Φ( frac(239,5 – 250)(sqrt(187,5) ) = Φ(-0,766) $

Il valore della funzione di distribuzione della normale standard può essere ricavato dalle tavole della distribuzione normale standard; si ottiene:

$ P(X < 240) = Φ(-0,766) = 1 – Φ(0,766) = 1 – 0,7764 = 0,2236 $

 

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