I computer di una certa partita vengono assemblati utilizzando processori di due diverse qualità, alle quali corrisponde un’affidabilità, in un dato intervallo di ∆, rispettivamente del 98% e del 75%. Il 30% dei computer è assemblato con processori di qualità migliore. Si sceglie a caso un computer: i) Qual è la probabilità che esso funzioni correttamente durante un intero intervallo ∆?

ii) Supposto di aver riscontrato che il computer scelto funziona correttamente durante un intero intervallo ∆, qual è la probabilità che esso contenga il processore di qualità migliore?

i) Distinguiamo il caso in cui il computer scelto sia quello di qualità migliore dal caso contrario; chiamiamo con A l’evento “il computer scelto contiene un processore di qualità migliore” e con B l’evento “il computer scelto contiene un processore di qualità inferiore”. Dai dati del problema sappiamo che l’evento A si verifica nel 30% dei casi, ovvero $P(A) = (30)/(100) = 0,3$, mentre l’evento B si verifica nel 70% dei casi, ovvero $P(B) = (70)/(100) = 0,7$.

Se indichiamo con C l’evento “il PC funziona correttamente nell’intervallo di tempo ∆”, applicando le regole della probabilità condizionale, abbiamo che:

$ P(C) = P(C|A) * P(A) + P(C|B) * P(B) $

La probabilità che il PC funzioni correttamente sapendo che si tratta di un PC di qualità migliore è:

$ P(C|A) = frac(98)(100) = 0,98 $

Mentre la probabilità che il PC funzioni correttamente sapendo che si tratta di un PC di qualità inferiore è:

$ P(C|B) = frac(75)(100) = 0,75 $

Sostituendo i valori numerici nella formula precedente troviamo che:

$ P(C) = P(C|A) * P(A) + P(C|B) * P(B) = 0,98 * 0,3 + 0,75 * 0,7 = 0,294 + 0,525 = 0,819$

ii) Sappiamo che un PC funziona correttamente nell’intervallo di tempo ∆, e vogliamo sapere qual è la probabilità che esso sia di qualità migliore; la probabilità da calcolare è quindi la seguente: $P(A|C)$. Per calcolare tale probabilità possiamo applicare la formula di Bayes:

$ P(A|C) = frac( P(C|A) * P(A) )( P(C|A) * P(A) + P(C|B) * P(B) ) $

Sostituendo i valori numerici abbiamo:

$ P(A|C) = frac( 0,98 * 0,3 )( 0,98 * 0,3 + 0,75 * 0,7 ) = frac( 0,294 )( 0,819 ) = 0,359 $

Potrebbe interessarti anche

 

Commenti

commenti