Cifre significative e approssimazioni

In questo appunto si affronteranno diversi argomenti, dal modo in cui è possibile andare ad ordinare delle cifre affinché vadano a fornire un numero divisibile, al concetto di approssimazione ed infine il concetto fondamentale di cifra significativa.

Ordinare le cifre affinché siano divisibili per un dato numero

Per comprendere come si debba procedere per andare a definire un ordine di cifre tali per cui risultino divisibili per un numero, andiamo direttamente a fare un esempio pratico. La domanda che ci vogliamo porre è la seguente:

In quanti modi si possono ordinare le cifre 1, 2, 4, 7 e 9 affinchè formino un numero di 5 cifre divisibile per 11?

Sapendo che un numero divisibile per 11, quando la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e quelle di posto dispari multiplo di 11, chiamiamo A la somma delle cifre di posto dispari, e B quella delle cifre di posto pari. Si ha dunque quanto segue:

Osservando quanto segue però si osserva che questo implica che A-B sia dispari, e dunque diverso da 0. L’unico valore possibile 11. Ma allora se risulta quanto segue:

Allora risulterà che

Da cui semplificando si ottiene

L’unico modo di ottenerlo usare i numeri 2 e 4. Vi sono dunque 2 modi di fissare le cifre di posto pari e 3! per quel di posto dispari per un totale di 2!3!=12

Il calcolo approssimato: gli arrotondamenti e troncamenti

Procediamo ora nel comprendere appieno gli argomenti relativi ai troncamenti e arrotondamenti. Questi concetti sono fondamentali soprattutto nell’ambito delle misurazioni di grandezze, e nel mondo fisico generale.
Spesso capita di non conoscere tutte le cifre decimali di un numero. Ciò accade, per esempio, quando eseguiamo misure di grandezze, che sono sempre caratterizzate da un’incertezza che dipende, in particolare, dallo strumento utilizzato. Altre volte, trascuriamo volutamente le cifre decimali di un numero da un certo punto in poi, per esempio quando consideriamo numeri irrazionali come 2 e r, che sono rappresentati da scritture decimali con infinite cifre.
L’approssimazione di un numero r può essere realizzata:

• per troncamento, limitandosi a scrivere la quantità desiderata di cifre decimali
  di r e omettendo tutte quelle successive;
• per arrotondamento, scegliendo, tra i numeri che hanno la quantità di cifre decimali desiderata, quello che più si avvicina a r.

Si guarda la prima cifra che viene omessa: se è minore di 5, il valore arrotondato coincide con quello troncato; se, invece, la cifra omessa è maggiore o uguale a 5, il valore arrotondato si ottiene aumentando di una unità l’ultima cifra del numero troncato.

Esempio di approssimazione

L’approssimazione per troncamento di 2 alla seconda cifra decimale è 1,41, essendo r = 1,41421. Il valore arrotondato alla seconda cifra decimale di 2 è ancora 1,41, perché la prima cifra omessa è la terza che è pari a 4. Il troncamento di r alla terza cifra decimale dà per valore 3,141, perché r = 3,1415926… Il valore arrotondato alla terza cifra decimale di r è 3,142 perché la prima cifra omessa è 5.
Se si tronca un numero r, si ottiene sempre un’approssimazione per difetto, ossia l’approssimazione per troncamento non è mai maggiore di r.
Se si arrotonda r, si ottiene un’approssimazione che può essere per difetto, quando la prima cifra decimale trascurata è minore di 5, oppure per eccesso, quando la prima cifra decimale trascurata è maggiore o uguale a 5. Intervallo di indeterminazione e precisione di un’approssimazione.
La scrittura r = 3,1415… può essere interpretata dicendo che la rappresentazione decimale di r è un numero compreso nell’intervallo che ha per estremi i numeri decimali finiti 3,415 (approssimazione per difetto) e 3,1416 (approssimazione per eccesso).
L’intervallo [3,1415; 3,1416] si dice intervallo di indeterminazione o di incertezza del numero r. È quindi ragionevole assumere come stima di r il punto medio dell’intervallo e come precisione, o incertezza dell’informazione, la semi-ampiezza dell’intervallo stesso.
Un numero reale, se è irrazionale, ha uno sviluppo decimale illimitato e non periodico; che cosa vuol dire, allora, conoscere un numero reale?
Poiché non è possibile scrivere tutte le sue cifre, per conoscerlo dobbiamo disporre di una procedura che consenta di calcolare un numero desiderato di cifre decimali, qualunque esso sia.
Per esempio, se scriviamo stiamo intendendo che conosciamo una procedura di calcolo delle cifre decimali di r, che abbiamo utilizzato per scrivere la parte intera e le prime cifre decimali. I puntini di sospensione indicano che le cifre proseguono all’infinito, senza alcuna periodicità.

Cifre significative

Le cifre significative forniscono una indicazione sul grado di precisione della misura (ad esempio i numeri 33,00 o 3,00 non sono necessariamente uguali). Le cifre significative sono essenzialmente quelle che vengono dopo la virgola che risultano essere diverse da zero.

Esempi di cifre significative

Procediamo facendo diversi esempi sul calcolo e determinazione delle cifre significative per alcuni numeri presi in esempio. Qui di seguito si procede.

Ovvero contiene un numero pari a 6 cifre significative

Ovvero contiene un numero pari a 3 cifre significative

Ovvero contiene un numero pari a 1 cifra significativa

Ovvero contiene un numero pari a 4 cifre significative