In un esame di calcolo delle probabilità ogni studenti sceglie a caso una di 3 buste. Ogni busta contiene un quesito su un argomenti diverso: la prima busta contiene una domanda sulla probabilità condizionale, la seconda busta sul teorema delle probabilità totali, e la terza sul teorema di Bayes. Supponiamo che la probabilità di superare il quesito sulla probabilità condizionale è 0,5, quella di superare il quesito sul teorema delle probabilità totali è 0,6 e quella di superare il terzo quesito è 0,3. Calcolare: i) la probabilità che uno studente superi l’esame

ii) la probabilità che abbia risolto un quesito sul teorema di Bayes, sapendo che ha superato l’esame;

iii) la probabilità di superare l’esame, sapendo che non si è scelto il quesito sul teorema di Bayes.

i) Chiamiamo con $A_1$ l’evento “lo studente sceglie la prima busta”, con $A_2$ l’evento “lo studente sceglie la seconda busta” e con $A_3$ l’evento “lo studente sceglie la terza busta”; inoltre  indichiamo con S l’evento “lo studente passa l’esame”. Dai dati forniti dal problema possiamo affermare che:

$P(S|A_1) = 0,5$

$P(S|A_2) = 0,6$

$P(S|A_3) = 0,3$

Inoltre, poiché lo studente sceglie a caso una delle tre buste, si ha:

$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = 1/3$

Applicando il teorema delle probabilità totali possiamo determinare la probabilità che uno studente superi l’esame:

$ P(S) = P(S|A_1)* P(A_1) + P(S|A_2)*P(A_2) + P(S|A_3)*P(A_3) $

Sostituendo i valori numerici otteniamo:

$ P(S) = 0,5 * 1/3 + 0,6*1/3 + 0,3*1/3 = 1/6 + 1/5 + 1/(10) = 7/(15) = 0,4667 $

ii) Sappiamo che lo studente ha passato l’esame, e vogliamo calcolare la probabilità che egli abbia scelto il quesito sul teorema di Bayes, ovvero la terza busta; la probabilità cercata è quindi $P(A_3 | S) $. Possiamo determinare tale probabilità applicando proprio la formula di Bayes:

$P(A_3 | S) = frac( P(S|A_3)*P(A_3) )( P(S|A_1)* P(A_1) + P(S|A_2)*P(A_2) + P(S|A_3)*P(A_3) ) = $

$ frac( P(S|A_3)*P(A_3) )( P(S) ) $

Sostituiamo i valori numerici:

$P(A_3 | S) = frac( P(S|A_3)*P(A_3) )( P(S) ) = frac( 0,3*1/3 )( 7/(15) ) = 1/(10) * (15)/7 = 3/(14) = 0,214$

iii) Se lo studente non ha scelto il quesito sul teorema di Bayes, vuol dire che ha scelto la prima o la seconda busta; quindi la probabilità da cercare è la seguente: $P( S | A_1 ∪ A_2)$. Per la formula della probabilità condizionale, vale la seguente relazione:

$P( S | A_1 ∪ A_2) = frac( P( S ∩ (A_1 ∪ A_2)) )( P(A_1 ∪ A_2)) $

Dalle osservazioni fatte precedentemente, possiamo dedurre che:

$ P( S ∩ (A_1 ∪ A_2)) = P(S|A_1)* P(A_1) + P(S|A_2)*P(A_2) = 0,5 * 1/3 + 0,6*1/3 = frac(11)(30) $

$ P( A_1 ∪ A_2 ) = 1/3 + 1/3 = 2/3 $

Quindi, sostituendo nella formula precedente otteniamo:

$P( S | A_1 ∪ A_2) = frac( frac(11)(30) )( 2/3 ) = frac(11)(30) * 3/2 = frac(11)(20) = 0,55 $

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