In un esame di calcolo delle probabilità ogni studenti sceglie a caso una di 3 buste. Ogni busta contiene un quesito su un argomenti diverso: la prima busta contiene una domanda sulla probabilità condizionale, la seconda busta sul teorema delle probabilit

1. La probabilità che uno studente superi l'esame;
2. La probabilità che abbia risolto un quesito sul teorema di Bayes, sapendo che ha superato l'esame;
3. La probabilità di superare l'esame, sapendo che non si è scelto il quesito sul teorema di Bayes.

1) Chiamiamo con

l'evento lo studente sceglie la prima busta, con l'evento lo studente sceglie la seconda busta e con l'evento lo studente sceglie la terza busta; inoltre indichiamo con S l'evento lo studente passa l'esame. Dai dati forniti dal problema possiamo affermare che:

Inoltre, poiché lo studente sceglie a caso una delle tre buste, si ha:

Applicando il teorema delle probabilità totali possiamo determinare la probabilità che uno studente superi l'esame:

Sostituendo i valori numerici otteniamo:

2) Sappiamo che lo studente ha passato l'esame, e vogliamo calcolare la probabilità che egli abbia scelto il quesito sul teorema di Bayes, ovvero la terza busta; la probabilità cercata è quindi

. Possiamo determinare tale probabilità applicando proprio la formula di Bayes:

Sostituiamo i valori numerici:

3) Se lo studente non ha scelto il quesito sul teorema di Bayes, vuol dire che ha scelto la prima o la seconda busta; quindi la probabilità da cercare è la seguente:

. Per la formula della probabilità condizionale, vale la seguente relazione:

Dalle osservazioni fatte precedentemente, possiamo dedurre che:

Quindi, sostituendo nella formula precedente otteniamo:

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