In un laboratorio di ricerca viene sperimentata una dieta che produce un aumento di peso che segue una legge di media μ e varianza $σ^2 = 25$. Tale dieta viene somministrata a 100 cavie. Sia $X_i$ la variabile aleatorie che indica l’aumento di peso prodotto dalla dieta sull’iesina cavia e sia $ bar X_n = 1/n (X_1 + X_2 + … + X_n)$. i) Supponiamo che μ = 12, Utilizzando l’approssimazione normale, calcolare la probabilità che la differenza in valore assoluto tra la variabile aleatoria $bar X_(100) $ e μ sia più piccola di η = 2. ii) Supponiamo che la media μ delle variabili aleatorie non sia nota. Avendo rilevato un aumento di peso medio $bar x_(100) = 14,5$, calcolare un intervallo di confidenza al livello 0,9 per la media μ

i) La probabilità richiesta dal problema è la seguente:

$P(| bar X_(100) – μ | < η ) = P(| bar X_(100) – 12| < 2 )$

Dai risultati dell’approssimazione sappiamo che la quantità $frac(S_n – E[S_n])( σ sqrt(n)) $ si comporta come una normale standard per n grande, dove con $S_n$ si indica la somma campionaria. Tale quantità può anche essere scritta come: $frac(bar S_n – E[bar S_n])( Var[bar S_n] ) $, e anche tale quantità si comporta come una normale standard, che possiamo indicare con W.

Procediamo nel modo seguente:

$ P(| bar X_(100) – 12| < 2 ) = P( frac(| bar X_(100) – 12|)( sqrt( Var(bar X_(100)) ))) < frac(2) ( sqrt( Var(bar X_(100)) )  = $

$ P( |W| < frac(2)( sqrt( Var(bar X_(100)) ) ) $

Sapendo che le variabili aleatorie $X_i$ hanno varianza 25, possiamo calcolare la varianza della media campionaria:

$Var(bar X_(100)) = 1/n * Var(X_i) = frac(1)(100) * 25 = frac(25)(100) $

$sqrt(Var(bar X_(100))) = sqrt(frac(25)(100)) = frac(5)(10) = 1/2 $

Sostituiamo nell’espressione precedente i valori numerici:

$ P( |W| < frac(2)( sqrt( Var(bar X_(100)) ) )) = P( |W| < frac(2)(1/2) ) = P( |W| < 4 ) = $

$P(-4 < W < 4) = P(W<4) – P(W<-4) $

Introducendo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard, abbiamo:

$ P(W<4) – P(W<-4) = Φ(4) – Φ(-4) = 2 Φ(4) – 1$

Dalle tabelle della distribuzione normale standard possiamo approssimare nel modo seguente:

$ 2 Φ(4) – 1~ 2 – 1 = 1$

ii) Dato che la media del campione non è conosciuta, è noto che un intervallo di confidenza per la media della distribuzione è della forma seguente:

$ I = [bar x_n – frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) , bar x_n – frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) ] $

dove $σ$ è la deviazione standard del campione, $ϕ_(1-α/2) $ è il quantile di ordine $1-α/2$ della distribuzione normale standard e $bar x_n$ è la media campionaria.

Analizziamo i dati che fornisce il problema:

$n = 100$

$bar x_(100) = 14,5$

$σ^2 = 25 to σ = 5 $

$1-α = 0,9 to 1-α/2 = 0,95$

Dalla tavola dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine $1-α/2$ è 1,65. Avendo a disposizione tutti i dati necessari, possiamo determinare l’intervallo di confidenza richiesto:

$ I = [ 14,5 – frac(5)(sqrt(100)) * 1,65 , 14,5 – frac(5)(sqrt(100)) * 1,65 ] = $

$ [ 14,5 – frac(5)(10) * 1,65 , 14,5 – frac(5)(10) * 1,65 ] = $

$ [ 14,5 – 0,5 * 1,65 ; 14,5 – 0,5 * 1,65 ] = $

$ [13,675 ; 15,325]$

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