In una fabbrica che produce bombolette spray risulta che il 3% della produzione presenta delle imperfezioni, poiché il propellente contiene tracce di fluorocarburi, sostanze dannose all’ozono. Per questo motivo le bombolette vengono sottoposte ad una proceduta di controllo, in seguito alla quale i pezzi difettosi vengono scartati con probabilità del 95%; i pezzi non difettosi vengono anch’essi scartati in certi casi, con una probabilità del 2%. i) Qual è la probabilità che una bomboletta prodotta superi il controllo e venga messa in commercio?

ii) Qual è la probabilità che una bomboletta scartata sia invece priva di fluorocarburi?

iii) Qual è la probabilità che una bomboletta messa in commercio contenga fluorocarburi (cioè sia difettosa)?

i) Indichiamo con D l’evento “una bomboletta scelta a caso è difettosa” e con N l’evento complementare, ovvero che “una bomboletta scelta accaso NON è difettosa”. Indichiamo poi con S l’evento “la bomboletta viene scartata” e con C l’evento complementare, ovvero “la bomboletta viene messa in commercio”.

Il primo punto del problema ci chiede di determinare la probabilità che una bomboletta venga messa in commercio, ovvero che si verifichi l’evento C. Tale condizione si verifica sia nel caso in cui la bomboletta sia difettosa, sia nel caso contrario, quindi dobbiamo considerare entrambi i casi. La probabilità richiesta può essere determinata ricorrendo alle probabilità condizionali.

$ P(C) = P ( C ⋂ D ) + P ( C ⋂ N ) = P(C | D) * P(D) + P(C | N) * P(N) $

Se la bomboletta è difettosa, viene messa in commercio nel 5% dei casi, quindi:

$ P(C | D) = 0,05 $

Il 3% delle bombolette risulta essere difettosa, quindi si ha:

$ P(D) = 0,03 $

Se la bomboletta non è difettosa, viene messa in commercio nel 98% dei casi, quindi:

$ P(C | N) = 0,98 $

Infine, poiché il 3% delle bombolette risulta essere difettosa, il 97% non presenta imperfezioni, quindi:

$ P(N) = 0,97 $

La probabilità cercata può quindi essere calcolata, e vale:

$ P(C) = P(C | D) * P(D) + P(C | N) * P(N) = 0,05 * 0,03 + 0,98 * 0,97 = 0,952 $

ii) Il secondo punto ci chiede la probabilità che una bomboletta sia in buone condizioni, sapendo che è stata scartata, ovvero la probabilità $P(N|S)$; possiamo determinare tale probabilità applicando la formula di Bayes:

$P(N|S) = frac( P(S|N) * P(N) )( P(S|N) * P(N) + P(S|D) * P(D) ) $

Conosciamo tutti i valori delle probabilità in questione, quindi possiamo sostituirli nell’espressione precedente:

$P(N|S) = frac( 0,02 * 0,97 )( 0,02 * 0,97 + 0,95 * 0,03 ) = 0,405 $

iii) In questo caso dobbiamo determinare la probabilità che una bomboletta sia difettosa, sapendo che è stata messa in commercio, ovvero la probabilità $ P(D|C)$; anche in questo caso possiamo applicare la formula di Bayes:

$P(D|C) = frac( P(C|D) * P(D) )( P(C|D) * P(D) + P(C|N) * P(N) ) $

Sostituiamo i valori numerici:

$P(D|C) = frac( 0,05 * 0,03 )( 0,05 * 0,03 + 0,98 * 0,97 ) = 0,0015$

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