Consideriamo una variabile aleatoria
[math]X_i[/math]
che assume il valore 1 se esce testa al i-esimo lancio, e il valore 0 altrimenti. Allora tale variabile è Bernoulliana con probabilità di successo p.
Dalle formule note possiamo calcolare la sua media e la sua varianza:
[math]E[X_i] = p[/math]
[math]Var[X_i] = p(1-p)[/math]
1) In questo caso, dai dati del problema sappiamo che p = 0,5.
Chiamiamo con
[math]S_n[/math]
la somma seguente:
[math]S_n = X_1 + X_2 + \ldots + X_n[/math]
Essendo la somma di variabili aleatorie di Bernoulli,
[math]S_n[/math]
ha una legge binomiale di parametri
[math]p = \frac{1}{2}[/math]
e
[math]n = 100[/math]
.
Calcoliamo la sua media:
[math]E[S_{100}] = np = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50[/math]
Ricordiamo che, per l'approssimazione normale, la quantità
[math]\frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{n}}[/math]
si comporta come una normale standard per n grande.
Quindi possiamo procedere nel modo seguente:
[math] P(40 \lt S_{100} \lt 60) = P\left(\frac{40 - E[S_{100}]}{\sqrt{n}} \lt \frac{S_{100} - E[S_{100}]}{\sqrt{n}} \lt \frac{60 - E[S_n]}{\sqrt{n}}\right)[/math]
Indichiamo con W la variabile aleatoria che si comporta come la normale standard:
[math] P(40 \lt S_{100} \lt 60) = P\left(\frac{40 - E[S_n]}{\sqrt{n}} \lt W \lt \frac{60 - E[S_n]}{\sqrt{n}}\right)[/math]
Procediamo sostituendo i valori numerici:
[math] P\left(\frac{40 - 50}{\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{100}} \lt W \lt \frac{60 - 50}{\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{100}}\right) = [/math]
[math] P\left(\frac{-10}{\frac{1}{2} \cdot 10} \lt W \lt \frac{10}{\frac{1}{2} \cdot 10}\right) = P(-2 \lt W \lt 2) = P(W \lt 2) - P(W \lt -2)[/math]
Indichiamo con
[math] \Phi [/math]
la funzione di distribuzione della normale standard, applichiamo le sue
proprietà; i valori relativi possono essere calcolati dalla rispettiva tabella:
[math] P(-2 \lt W \lt 2) = P(W \lt 2) - P(W \lt -2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 2\Phi(2) - 1 = 2 \cdot 0.9772 - 1 = 0.9544[/math]
2) Procediamo in maniera analoga alla precedente, considerando in questo caso che abbiamo una variabile incognita all'interno della nostra approssimazione normale:
[math] P(800 - \alpha \lt S_{1600} \lt 800 + \alpha) = P\left(\frac{800 - \alpha - E[S_n]}{\sqrt{n}} \lt \frac{S_{1600} - E[S_n]}{\sqrt{n}} \lt \frac{800 + \alpha - E[S_n]}{\sqrt{n}}\right) = [/math]
[math] P\left(\frac{800 - \alpha - 800}{\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{1600}} \lt W \lt \frac{800 + \alpha - 800}{\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{1600}}\right) =[/math]
[math] P\left(\frac{-\alpha}{\frac{1}{2} \cdot 40} \lt W \lt \frac{\alpha}{\frac{1}{2} \cdot 40}\right) = P\left(\frac{-\alpha}{20} \lt W \lt \frac{\alpha}{20}\right) = [/math]
[math] P(W \lt \frac{\alpha}{20}) - P(W \lt -\frac{\alpha}{20}) [/math]
Introducendo la funzione
[math] \Phi [/math]
, abbiamo:
[math] P(W \lt \frac{\alpha}{20}) - P(W \lt -\frac{\alpha}{20}) = \Phi\left(\frac{\alpha}{20}\right) - \Phi\left(-\frac{\alpha}{20}\right) = 2 \Phi\left(\frac{\alpha}{20}\right) - 1 [/math]
Sappiamo che tale probabilità deve essere maggiore di 0,95; quindi poniamo:
[math] 2 \Phi\left(\frac{\alpha}{20}\right) - 1 \gt 0,95 \quad \to \quad \Phi\left(\frac{\alpha}{20}\right) \gt \frac{0,95 + 1}{2} = 0,975 [/math]
Dalla tavola della distribuzione standard ricaviamo che il quantile di ordine 0,975 della distribuzione è 1,96, ovvero che:
[math] \Phi(1,96) = 0,975 \quad \to \quad \Phi^{-1}(0,975) = 1,96 [/math]
Quindi, poiché
[math] \Phi [/math]
è una funzione crescente, per determinare il valore di α che soddisfa la disuguaglianza basta porre:
[math] \frac{\alpha}{20} \gt 1,96 \quad \to \quad \alpha \gt 1,96 \cdot 20 = 39,2[/math]
3) Procediamo in maniera analoga ai precedenti, considerando che in questo caso la variabile incognita è il numero di lanci n; dobbiamo calcolare:
[math]P(0,20 \lt \frac{S_n}{n} \lt 0,30) \gt 0,95[/math]
Utilizziamo l'approssimazione normale:
[math]P(0,20 \lt \frac{S_n}{n} \lt 0,30) = P(0,20n \lt S_n \lt 0,30n) = P\left(\frac{0,20n - n \cdot 0,25}{\sqrt{\frac{3}{16}} \cdot \sqrt{n}} \lt W \lt \frac{0,30n - n \cdot 0,25}{\sqrt{\frac{3}{16}} \cdot \sqrt{n}}\right) = [/math]
[math] P\left(\frac{-0,05n}{\frac{\sqrt{3n}}{4}} \lt W \lt \frac{0,05n}{\frac{\sqrt{3n}}{4}}\right) = [/math]
[math] P\left(W \lt \frac{0,05n}{\frac{\sqrt{3n}}{4}}\right) - P\left(W \lt -\frac{0,05n}{\frac{\sqrt{3n}}{4}}\right) [/math]
Introducendo la funzione
[math] \Phi [/math]
, abbiamo:
[math] \Phi\left(\frac{0,05n}{\frac{\sqrt{3n}}{4}}\right) - \Phi\left(-\frac{0,05n}{\frac{\sqrt{3n}}{4}}\right) = 2 \Phi\left(\frac{0,05 \sqrt{n}}{\sqrt{3}}\right) - 1= [/math]
[math] 2 \Phi\left(\frac{0,20 \sqrt{n}}{\sqrt{3}}\right) - 1 [/math]
Sappiamo che tale probabilità deve essere maggiore di 0,95; quindi poniamo:
[math] 2 \Phi\left(\frac{0,20 \sqrt{n}}{\sqrt{3}}\right) - 1 \gt 0,95 \quad \to \quad \Phi\left(\frac{0,20 \sqrt{n}}{\sqrt{3}}\right) \gt \frac{0,95 + 1}{2} = 0,975 [/math]
Come trovato in precedenza, il quantile di ordine 0,975 della distribuzione è 1,96; per determinare il valore di n che soddisfa la disuguaglianza, poniamo:
[math] \frac{0,20 \sqrt{n}}{\sqrt{3}} \gt 1,96[/math]
Risolviamo:
[math] \sqrt{n} \gt \frac{1,96 \cdot \sqrt{3}}{0,20} \quad \to \quad n \gt 288,12 [/math]
Possiamo concludere che il numero minimo di lanci affinché sia soddisfatta la condizione richiesta è 289.
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