Indichiamo con $S_n$ il numero di teste uscite in n lanci di una moneta che da testa con probabilità p. Usando l’approssimazione normale stimare: i) $P(40 < S_(100) < 60) $ nel caso in cui p = 0,5 ii) $delta$ affinché $P(800 - delta < S_(1600) < 800 + delta) > 0,95 $ nel caso in cui p = 0,5 iii) il numero di lanci affinché $P(0,20 < S_(n)/n < 0,30) > 0,95 $ nel caso in cui p = 0,25

Consideriamo una variabile aleatoria $X_i$ che assume il valore 1 se esce testa all’ i-esimo lancio, e il valore 0 altrimenti. Allora tale variabile è Bernoulliana con probabilità di successo p.

Dalle formule note possiamo calcolare la sua media e la sua varianza:

$E[X_i] = p $

$Var[X_i] = p(1-p) $

i) In questo caso, dai dati del problema sappiamo che p = 0,5.

Chiamiamo con $S_n$ la somma seguente:

$S_n = X_1 + … + X_n$

Essendo la somma di variabili aleatorie di Bernoulli, $S_n$ ha una legge binomiale di parametri $p

= frac(1)(2) $ e n = 100. Calcoliamo la sua media:

$E[S_(100)] = np = 100 * frac(1)(2) = 50 $

Ricordiamo che, per l’approssimazione normale, la quantità $frac(S_n – E[S_n])( σ sqrt(n)) $ si comporta come una normale standard per n grande.

Quindi possiamo procedere nel modo seguente:

$ P(40 < S_(100) < 60) = P( frac( 40 – E[S_(100)])( σ sqrt(n)) < frac(S_(100) – E[S_(100)])( σ sqrt(n)) < frac( 60 – E[S_n])( σ sqrt(n)) ) $

Indichiamo con W la variabile aleatoria che si comporta come la normale standard:

$ P(40 < S_(100) < 60) = P( frac( 40 – E[S_n])( σ sqrt(n)) < W < frac( 60 – E[S_n])( σ sqrt(n)) ) $

Procediamo sostituendo i valori numerici:

$ P( frac( 40 – 50 )( sqrt(1/4) sqrt(100)) < W < frac( 60 – 50 )( sqrt(1/4) sqrt(100)) ) = $

$ P( frac( – 10 )( 1/2 * 10 ) < W < frac( 10 )( 1/2 * 10) ) = P( frac( – 10 )( 5 ) < W < frac( 10 )( 5) ) =$

$ P( -2 < W < 2 ) = P(W < 2) – P(W < -2) $

Indichiamo con Φ la funzione di distribuzione della normale standard, applichiamo se sue proprietà; i valori relativi possono essere calcolati dalla rispettiva tabella:

$ P( -2 < W < 2 ) = P(W < 2) – P(W < -2) = Φ(2) – Φ(-2) = 2 Φ(2) – 1 = 2 * 0,9772 – 1 = 0,9544 $

ii) Procediamo in maniera analoga alla precedente, considerando in questo caso che abbiamo una variabile incognita all’interno della nostra approssimazione normale:

$ P(800 – δ < S_(1600) < 800 + δ) = P( frac( 800 – δ – E[S_n])( σ sqrt(n)) < frac(S_(1600) – E[S_n])( σ sqrt(n)) < frac( 800 + δ – E[S_n])( σ sqrt(n)) ) = $

$ P( frac( 800 – δ – E[S_n])( σ sqrt(n)) < W < frac( 800 + δ – E[S_n])( σ sqrt(n)) ) $

Sostituiamo i valori numerici; in questo caso abbiamo:

$E[S_(1600)] = np = 1600 * frac(1)(2) = 800 $

$ P( frac( 800 – δ – 800)( sqrt(1/4) * sqrt(1600)) < W < frac( 800 + δ – 800)( sqrt(1/4) * sqrt(1600)) ) =$

$ P( frac( -δ )( 1/2 * 40) < W < frac(δ)( 1/2 * 40) ) = P( frac( -δ )( 20) < W < frac(δ)(20) ) = $

$P(W < frac(δ)(20)) – P(W < -frac(δ)(20)) $

Introducendo la funzione Φ abbiamo:

$P(W < frac(δ)(20)) – P(W < -frac(δ)(20)) = Φ(frac(δ)(20)) – Φ(-frac(δ)(20)) = 2 Φ(frac(δ)(20)) – 1 $

Sappiamo che tale probabilità deve essere maggiore di 0,95; quindi poniamo: $ 2 Φ(frac(δ)(20)) – 1 > 0,95 to Φ(frac(δ)(20)) > frac(0,95 + 1)(2) = 0,975 $

Dalla tavola della distribuzione standard ricaviamo che il quantile di ordine 0,975 della distribuzione è 1,96, ovvero che:

$ Φ(1,96) = 0,975 to ϕ_(0,975) = 1,96 $

Quindi, poiché Φ è una funzione crescente, per determinare il valore di δ che soddisfi la disuguaglianza basta porre:

$ frac(δ)(20) > 1,96 $

Risolviamo e troviamo δ:

$ frac(δ)(20) > 1,96 to δ > 1,96 * 20 = 39,2$

iii) Procediamo in maniera analoga ai precedenti, considerando però che in questo caso la variabile incognita è il numero di lanci n; dobbiamo calcolare:

$P(0,20 < S_(n)/n < 0,30) > 0,95$

Utilizziamo l’approssimazione normale:

$P(0,20 < S_(n)/n < 0,30) = P(0,20 n < S_(n) < 0,30 n) = P( frac(0,20 n – n * 0,25)( sqrt(frac(3)(16)) * sqrt(n) ) < W < frac(0,30 n – n * 0,25)( sqrt(frac(3)(16)) * sqrt(n) )) = $

$ P( frac( – 0,05 n)( sqrt(3n)/4 ) < W < frac( 0,05 n)( sqrt(3n)/4 ) ) = $

$ P( W < frac( 0,05 n)( sqrt(3n)/4 ) ) – P( W < -frac( 0,05 n)( sqrt(3n)/4 ) ) $

Introducendo la funzione Φ abbiamo:

$ Φ( frac( 0,05 n)( sqrt(3n)/4 ) ) – Φ( -frac( 0,05 n)( sqrt(3n)/4 ) ) = 2 Φ( frac( 0,05 n)( sqrt(3n)/4 ) ) – 1= $ $ 2 Φ( frac( 0,20 sqrt(n))( sqrt(3) ) ) – 1 $

Sappiamo che tale probabilità deve essere maggiore di 0,95; quindi poniamo: $ 2 Φ( frac( 0,20 sqrt(n))( sqrt(3) ) ) – 1 > 0,95 to Φ(frac( 0,20 sqrt(n))( sqrt(3) )) > frac(0,95 + 1) (2) = 0,975 $

Come trovato in precedenza, il quantile di ordine 0,975 della distribuzione è 1,96; per determinare il valore di n che soddisfa la disuguaglianza poniamo:

$ frac( 0,20 sqrt(n))( sqrt(3) ) > 1,96$

Risolviamo:

$ sqrt(n) > frac(1,96 * sqrt(3))(0,20) to n > 288,12 $

Possiamo concludere che il numero minimo di lanci affinché sia soddisfatta la condizione richiesta è 289.

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