La probabilità che uno studente dimentichi (in maniera indipendente dagli altri) di portare con sé la calcolatrice alla prova scritta di un esame è $p = frac(1)(100)$. Supponiamo che 200 studenti partecipino alla prova. i) Calcolare l probabilità che tutti gli studenti abbiano la calcolatrice e la probabilità che vi siano più di 2 studenti senza calcolatrice. ii) Stimare il valore di quest’ultima probabilità utilizzando l’approssimazione di Poisson. iii) Stimare lo stesso valore utilizzando l’approssimazione normale. Che valutazione si può dare per queste due approssimazioni?

i) Possiamo rappresentare il numero di studenti che dimenticano la propria calcolatrice con una variabile aleatoria X che è una binomiale di parametri n = 200 (numero degli studenti) e $p = frac(1)(100)$ (probabilità di “successo”).

Quindi, possiamo calcolare la probabilità che tutti gli studenti abbiano con se la calcolatrice nel modo seguente:

$P = (1 – frac(1)(100))^(200) = 0,0134$

La probabilità che vi siano più di due studenti senza calcolatrice è data da:

$P(X > 2) = P(X ≥ 3)$

Possiamo calcolare tale probabilità sfruttando la seguente proprietà:

$ P(X ≥ 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)$

Procediamo sostituendo i valori numerici:

$ P(X ≥ 3) = 1 – frac(200!)(0! 200!) * (1 – frac(1)(100))^(200) – frac(200!)(1! 199!) * frac(1)(100) * (1 – frac(1)(100))^(199) – frac(200!)(2! 198!) * frac(1)(100^2) * (1 – frac(1)(100))^(198) = $

Svolgendo i calcoli si ottiene : $ P(X ≥ 3) = 0,3233213 $

ii) Proviamo ora a calcolare la stessa probabilità sfruttando l’approssimazione di Poisson. Ricordiamo che una variabile aleatoria binomiale di parametri n e p può essere approssimata con una di Poisson di parametro np. In questo caso, quindi, la variabile di Poisson da utilizzare ha parametro:

$ λ = np = frac(200)(100) = 2 $

La probabilità richiesta è quindi:

$ P(X ≥ 3) = 1 – e^(-2) (1 + 2 + 2) = 1 – 5e^(-2) = 0,3233236 $

iii) Ripetiamo ora lo stesso calcolo utilizzando l’approssimazione normale. In questo caso per ottenere una variabile W approssimabile con una normale standard, sottraiamo ad X la sua media e dividiamo tutto per $σ*sqrt(n)$:

$ P(X ≥ 3) = P(X > 2,5) = P(frac(X – μ)(σ*sqrt(n)) ≥ frac(2,5 – μ)(σ*sqrt(n))) = P( W ≥ frac(2,5 – μ) (σ*sqrt(n))) $

Sostituiamo i valori numerici:

$ P(X ≥ 3) = P( W ≥ frac(2,5 – 2)(sqrt(0,01 * 0,99) *sqrt(200))) = $

$ 1 – Φ(frac(0,5)(1,407)) = $

$ 1 – Φ(0,35537) ~ 0,3611695 $

Possiamo notare dai risultati ottenuti che l’approssimazione normale è molto meno precisa rispetto ai metodi utilizzati precedentemente.

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