Il problema può essere risolto mediante l'utilizzo del teorema del limite centrale e dell'approssimazione normale standard.
La probabilità che dobbiamo calcolare è la seguente:
[math] P(190
Per l'approssimazione standard abbiamo che la quantità
[math]\frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}}[/math]
si comporta come una normale standard per n grandi (indichiamo tale variabile con W).Nel nostro caso, poiché le variabili aleatorie hanno legge di Poisson, sappiamo che la loro media e la loro varianza valgono esattamente μ.
Abbiamo quindi tutti i dati necessari per procedere:
[math] P(190
[math] P\left( \frac{190 - 100 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{100}}
[math] P\left( \frac{190 - 200}{10 \sqrt{2}}
[math] P\left( \frac{-10}{10 \sqrt{2}}
[math] P\left( \frac{-1}{\sqrt{2}}
[math] P\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}
Se indichiamo con Φ la funzione di distribuzione della normale standard, possiamo scrivere:
[math] P\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}
[math]P(W
[math] \Phi\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \Phi\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 \Phi\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 1[/math]
I valori corrispondenti possono essere ricavati dalla tavola della distribuzione normale standard:
[math] 2 \Phi\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 1 = 2 \cdot 0.7611 = 0.5222 [/math]
