- Quanti vale P(T > 5)?
- Qual è la probabilità che Giovanni estragga per primo un asso, cioè che sia T > S?
- Mostrare che [math] E[T-S] e calcolare[math] E[4T-3S] [/math];
1) Il primo punti ci chiede di determinare la probabilità che occorrano più di 5 tentativi prima di estrarre un asso, dal mazzo di Luca. La variabile T, poich essa rappresenta all'istante di primo successo, ha una legge geometrica modificata, in cui la probabilità di successo (essendoci 4 assi in un mazzo di 40 carte) 0,1.
La legge della variabile aleatoria T è quindi la seguente:[math] P(T = k) = p \cdot (1-p)^{k-1} , p = \frac{1}{10}[/math]In generale, per una geometrica modificata X è nota la forma della probabilità
[math]P(X , e segue la seguente formula:[math]P(XNel nostro caso, dobbiamo determinare
[math]P(T>5)[/math], ma possiamo ricollegarci alla formula precedente notando che:[math]P(T > 5) = 1 - P(T In questo caso si ha:[math]P(T>5) = 1 - [1 - (1-p)^5] [/math]Conoscendo il valore di p, possiamo procedere sostituendo i valori numerici:
[math]P(T > 5) = 1 - [1 - (1-\frac{1}{10})^5] = 1 - 1 + (\frac{9}{10})^5 = (\frac{9}{10})^5 = 0,59049 [/math]2) In questo caso la probabilità richiesta è
[math]P(T > S)[/math]; tale probabilità è data considerando tutti i valori che possono essere assunti da T e che siano maggiori del valore assunto da S; in maniera formale, equivale a risolvere la seguente sommatoria:[math] \displaystyle P(T > S) = \sum_{k=1}^{\infty} P(S=k, T > k) [/math]Poiché S e T sono indipendenti si ha:
[math] \displaystyle P(T > S) = \sum_{k=1}^{\infty} P(S=k) \cdot P(T > k) [/math]Anche S rappresenta l'istante di primo successo di una serie di prove Bernoulliane, e pertanto anche S segue una legge geometrica modificata; la probabilità di successo, che chiamiamo con q, è data da
[math]q = frac(3)(40) [/math], in quanto sono presenti solo 3 assi in un mazzo di 40 (un asso è stato tolto dal mazzo, e abbiamo ipotizzato che sia stato rimpiazzato da unaltra carta).La probabilità
[math]P(T>k) [/math]può essere calcolata come fatto in precedenza, e si ha:[math] P(T>k) = 1 - P(TSostituiamo i valori trovati:
[math] \displaystyle P(T>S) = \sum_{k=1}^{\infty} P(S=k) \cdot P(T>k) [/math][math] \displaystyle = \sum_{k=1}^{\infty} q \cdot (1-q)^{k-1} \cdot (1-p)^k = [/math][math] \displaystyle = q(1-p) \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (1-q)^{k-1} \cdot (1-p)^{k-1} = [/math][math] \displaystyle = q(1-p) \cdot \sum_{k=1}^{\infty} ((1-q)(1-p))^{k-1} = [/math]Applicando le formule risolutive per le serie notevoli otteniamo:
[math] q(1-p) \cdot \frac{1}{1 - (1-q)(1-p) } = q(1-p) \cdot \frac{1}{1 - (1- q - p + pq) } = [/math][math] = q(1-p) \cdot \frac{1}{1 - 1 + q + p - pq) } = \frac{q(1-p)}{ q + p - pq } = 0,40298 [/math]3) Cominciamo calcolando la media delle variabili aleatorie T ed S; poiché esse hanno distribuzione geometrica modificata, la loro media nota, e vale esattamente
[math]1/p[/math]; quindi abbiamo:
.[math] \displaystyle E[T] = \frac{1}{p_T} = \frac{1}{0,1} = 10 [/math][math] \displaystyle E[\\S] = \frac{1}{p_S} = \frac{1}{\frac{3}{40}} = \frac{40}{3} [/math]Calcoliamo quindi
[math]E[T-S][/math]; dalle proprietà della speranza, possiamo scrivere:[math] \displaystyle E[T-S] = E[T] - E[\\S] = 10 - \frac{40}{3} = \frac{30-40}{3} = - \frac{10}{3} [/math]Abbiamo quindi verificato che la speranza richiesta negativa.
Procediamo con il secondo calcolo richiesto:
[math]E[4T-3S][/math]; anche in questo caso, ci basterà applicare le proprietà della speranza:[math]E[4T-3S] = E[4T] - E[3S] = 4E[T] - 3E[\\S] = 4 \cdot 10 - 3 \cdot \frac{40}{3} = 40 - 40 = 0 [/math]Potrebbe interessarti anche
