_stan
di _stan
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i) Calcolare P(X=0) e P(X=2).
ii) Calcolare E(X).
iii) Se S la spesa (in euro) sostenuta dal cliente per comprare i tre CD, calcolare E(S).

i) La variabile X può essere considerata come la variabile che conta il numero di un certo tipo di elementi che vengono estratti da un insieme contenente varie tipologie; tali estrazioni possono essere considerate senza rimpiazzo, e di conseguenza la variabile X segue una legge di tipo ipergeometrico. Consideriamo il primo caso, e ipotizziamo che il cliente non acquisti nessun CD di grafica (X=0); in questo caso, i 3 CD acquistati dal cliente devono essere scelti tra i 18 che sono di calcolo e applicazioni; poiché il numero di modi possibili di scegliere 3 elementi in un insieme di 20 dato dal coefficiente binomiale:

[math]\binom {20}{3}[/math]

la probabilità che stiamo cercando data dal seguente rapporto:

[math]P(X=0) = \frac{ \binom{18}{3} }{ \binom{20}{3} }[/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math] P(X=0) = \frac{ \frac{18!}{3! 15!}} { \frac{20!}{3! 17!}} = \frac{18!}{3! 15!} \cdot \frac{3! 17!}{20!} = [/math]

[math] \frac{18!}{3! 15!} \cdot \frac{3! 17 \cdot 16 \cdot 15!}{20 \cdot 19 \cdot 18!} = \frac{17 \cdot 16}{20 \cdot 19} = 0,7157 [/math]

Nel caso in cui il cliente acquisti esattamente due CD di grafica (X=2), il ragionamento è simile: dobbiamo scegliere due CD tra i 2 possibili di grafica, e un CD tra gli altri 18.

Applicando la formula abbiamo:

[math]P(X=2) = \frac{ \binom{2}{2} * \binom{18}{1} }{ \binom{20}{3} }[/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math] P(X=2) = \frac{ \frac{18!}{1! 17!}}{ \frac{20!}{3! 17!}} = \frac{18!}{1! 17!} \cdot \frac{3! 17!}{20!} = [/math]

[math] 18! \cdot \frac{3!}{20!} = 18! \cdot \frac{3!}{20 \cdot 19 \cdot 18!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{20 \cdot 19} = 0,0157 [/math]

ii) Sappiamo, in generale, che la speranza di una variabile X di legge ipergeometrica data dalla seguente formula:

[math] E[X] = n \cdot \frac{r}{r + b} [/math]

Nel nostro caso, n rappresenta il numero di estrazioni, quindi n = 3; r rappresenta il numero di CD di grafica (r = 2) e b infine rappresenta il numero di CD che sono di calcolo numerico e applicazione (b = 18). Fatte tali osservazioni, possiamo facilmente calcolare la media di X:

[math] E[X] = n \cdot \frac{r}{r + b} = 3 \cdot \frac{2}{20} = 0,3 [/math]

iii) Sappiamo che X indica il numero di CD di grafica acquistati, e che ogni CD di tale tipologia costa 800€; di conseguenza, la spesa affrontata riguardante solo i CD di grafica data da:

[math]X \cdot 800[/math]

Sapendo che il cliente acquista in totale 3 CD, se X sono quelli di grafica, 3-X sono i CD dell'altra tipologia, quindi la spesa che riguarda tali CD sarà:

[math](3-X) \cdot 600[/math]

Possiamo quindi esprimere la variabile aleatoria S in funzione delle considerazioni precedentemente fatte:

[math] S = X \cdot 800 + (3-X) \cdot 600 = 800 X - 600 X + 1800 = 200 X + 1800 [/math]

Possiamo calcolare la speranza di S a partire dalla sua definizione, ricordando le proprietà algebriche della speranza:

[math] E = E[200 X + 1800] = E[200 X] + E[1800] = 200 E[X] + 1800 = 0,3 \cdot 200 + 1800 = 1860 [/math]

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