Sappiamo che in un'estrazione del lotto vengono estratti 5 numeri. Considerando che in totale abbiamo 90 palline, tutte le possibili configurazioni di 5 elementi sono date dal coefficiente binomiale seguente:
[math] \binom{90}{5} [/math]
Mentre le configurazioni vincenti, ovvero quelle in cui è presente il numero 1, possono essere trovate considerando essa la posizione di 1 e calcolando tutte le possibili configurazioni degli altri 4 numeri:
[math] \binom{89}{4} [/math]
Quindi, la probabilità di avere 1 in un'estrazione può essere calcolata come il rapporto di casi favorevoli su casi totali:
[math] p = \frac{\binom{89}{4}}{\binom{90}{5}} = \frac{\frac{89!}{4!85!}}{\frac{90!}{5!85!}} = \frac{89!}{4!85!} \cdot \frac{5!85!}{90!} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18} [/math]
Cerchiamo ora di usare l'approssimazione normale per stimare la probabilità che il numero 1 sia uscito almeno 12 volte nelle ultime 100 estrazioni.
Consideriamo una variabile aleatoria
[math]X_i[/math]
che assume il valore 1 se la pallina 1 esce alla i-esima estrazione e il valore 0 altrimenti.
Allora tale variabile è bernoulliana con probabilità di successo p.
Dalle formule note possiamo calcolare la sua media e la sua varianza:
[math]E[X_i] = p = \frac{1}{18} [/math]
[math]Var[X_i] = p(1-p) = \frac{1}{18} \cdot \frac{17}{18} = \frac{17}{18^2} [/math]
Chiamiamo con
[math]S_n[/math]
la somma seguente:
[math]S_n = X_1 + X_2 + \ldots + X_n[/math]
che indica il numero di volte in cui il numero 1 è uscito; per n = 100, consideriamo 100 estrazioni.
Essendo la somma di variabili aleatorie di Bernoulli,
[math]S_n[/math]
ha una legge binomiale di parametri
[math]p = \frac{1}{18} [/math]
e n = 100. Calcoliamo la sua media e la sua varianza:
[math]E[S_n] = np = 100 \cdot \frac{1}{18} = \frac{50}{9} = 5.556 [/math]
[math]Var[S_n] = np(1-p) = 100 \cdot \frac{1}{18} \cdot \frac{17}{18} = 100 \cdot \frac{17}{18^2} = 5.247[/math]
La probabilità richiesta dal problema è la seguente:
[math]P(S_n \geq 12) = P( X_1 + X_2 + \ldots + X_n \geq 12) [/math]
Ricordiamo che, per l'approssimazione normale, la quantità
[math]\frac{(S_n - E[S_n])}{\sqrt{n}}[/math]
si comporta come una normale standard per n grande.
Quindi possiamo procedere nel modo seguente:
[math]P(S_n \geq 12) = P\left( \frac{(S_n - E[S_n])}{\sqrt{n}} \geq \frac{(12 - E[S_n])}{\sqrt{n}} \right) [/math]
Se indichiamo con W la variabile aleatoria che si comporta come la normale standard, abbiamo:
[math]P(S_n \geq 12) = P\left( W \geq \frac{(12 - E[S_n])}{\sqrt{n}} \right) [/math]
Proseguiamo sostituendo i valori numerici:
[math]P(S_n \geq 12) = P\left( W \geq \frac{(12 - 5.556)}{(0.229 \sqrt{100})} \right) = P\left( W \geq \frac{6.444}{2.29} \right) = [/math]
[math] P\left( W \geq 2.814 \right) [/math]
Se indichiamo con
[math] \Phi [/math]
la funzione di distribuzione della normale standard, abbiamo che:
[math] P \left( W \geq 2.814 \right) = 1 - P\left( W
Il valore di
[math] \Phi [/math]
si ricava dalle tavole della distribuzione normale standard.
Potrebbe interessarti
