Qual è la probabilità che il numero 1 esca in una estrazione del lotto? Usando l’approssimazione normale, stimare la probabilità che il numero 1 sia uscito almeno 12 volte nelle ultime 100 estrazioni

Sappiamo che in una estrazione del lotto vengono estratti 5 numeri. Considerando che in totale abbiamo 90 palline, tutte le possibili configurazioni di 5 elementi sono date dal coefficiente binomiale seguente:

$ ((90),(5)) $

Mentre le configurazioni vincenti, ovvero quelle in cui è presente il numero 1, possono essere trovate considerando “fissa” la posizione di 1, e calcolando tutte le possibili configurazioni degli altri 4 numeri:

$ ((89),(4))$

Quindi, la probabilità di avere 1 in una estrazione può essere calcolata come rapporto di casi favorevoli su casi totali:

$ p = \frac(((89),(4)))( ((90),(5)) ) = $

$ frac( frac(89!)(4! 85!) )( frac(90!)(5! 85!) ) = frac(89!)(4! 85!) * frac(5! 85!)(90!) = $

$ frac(89!)(4! 85!) * frac(5 * 4! 85!)(90 * 89!) = frac(5)(90) = frac(1)(18) $

Cerchiamo ora di usare l’approssimazione normale per stimare la probabilità che il numero 1 sia uscito almeno 12 volte nelle ultime 100 estrazioni.

Consideriamo una variabile aleatoria $X_i$ che assume il valore 1 se la pallina 1 esce alla i-esima estrazione, e il valore 0 altrimenti. Allora tale variabile è bernoulliana con probabilità di successo p.

Dalle formule note possiamo calcolare la sua media e la sua varianza:

$E[X_i] = p = frac(1)(18) $

$Var[X_i] = p(1-p) = frac(1)(18) * frac(17)(18) = frac(17)(18^2) $

Chiamiamo con $S_n$ la somma seguente:

$S_n = X_1 + … + X_n$

che indica il numero di volte in cui il numero 1 è uscito; per n = 100, consideriamo 100 estrazioni.

Essendo la somma di variabili aleatorie di Bernoulli, $S_n$ ha una legge binomiale di parametri $p = frac(1)(18) $ e n = 100. Calcoliamo la sua media e la sua varianza:

$E[S_n] = np = 100 * frac(1)(18) = frac(50)(9) = 5,556 $

$Var[S_n] = np(1-p) = 100 * frac(1)(18) * frac(17)(18) = 100 * frac(17)(18^2) = 5,247$

La probabilità richiesta dal problema è la seguente:

$P(S_n ≥ 12) = P( X_1 + … + X_n ≥ 12) $

Ricordiamo che, per l’approssimazione normale, la quantità $frac(S_n – E[S_n])( σ sqrt(n)) $ si comporta come una normale standard per n grande.

Quindi possiamo procedere nel modo seguente:

$P(S_n ≥ 12) = P( frac(S_n – E[S_n])( σ sqrt(n)) ≥ frac( 12 – E[S_n])( σ sqrt(n))) $

Se indichiamo con W la variabile aleatoria che si comporta come la normale standard, abbiamo:

$P(S_n ≥ 12) = P( W ≥ frac( 12 – E[S_n])( σ sqrt(n))) $

Proseguiamo sostituendo i valori numerici:

$P(S_n ≥ 12) = P( W ≥ frac( 12 – 5,556 )( 0,229 sqrt(100))) = P( W ≥ frac( 6,444 )(2,29) ) = $

$ P( W ≥ 2,814 ) $

Se indichiamo con Φ la funzione di distribuzione della normale standard abbiamo che:

$ P( W ≥ 2,814 ) = 1 – P( W < 2,814 ) = 1 – Φ(2,814) = 1 – 0,9975 = 0,0025 $

Il valore di Φ si ricava dalle tavole della distribuzione normale standard.

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