Qual è la probabilità che il numero 1 esca in una estrazione del lotto? Usando l’approssimazione normale, stimare la probabilità che il numero 1 sia uscito almeno 12 volte nelle ultime 100 estrazioni
Sappiamo che in una estrazione del lotto vengono estratti 5 numeri. Considerando che in totale abbiamo 90 palline, tutte le possibili configurazioni di 5 elementi sono date dal coefficiente binomiale seguente:
$ ((90),(5)) $
Mentre le configurazioni vincenti, ovvero quelle in cui è presente il numero 1, possono essere trovate considerando “fissa” la posizione di 1, e calcolando tutte le possibili configurazioni degli altri 4 numeri:
$ ((89),(4))$
Quindi, la probabilità di avere 1 in una estrazione può essere calcolata come rapporto di casi favorevoli su casi totali:
$ p = \frac(((89),(4)))( ((90),(5)) ) = $
$ frac( frac(89!)(4! 85!) )( frac(90!)(5! 85!) ) = frac(89!)(4! 85!) * frac(5! 85!)(90!) = $
$ frac(89!)(4! 85!) * frac(5 * 4! 85!)(90 * 89!) = frac(5)(90) = frac(1)(18) $
Cerchiamo ora di usare l’approssimazione normale per stimare la probabilità che il numero 1 sia uscito almeno 12 volte nelle ultime 100 estrazioni.
Consideriamo una variabile aleatoria $X_i$ che assume il valore 1 se la pallina 1 esce alla i-esima estrazione, e il valore 0 altrimenti. Allora tale variabile è bernoulliana con probabilità di successo p.
Dalle formule note possiamo calcolare la sua media e la sua varianza:
$E[X_i] = p = frac(1)(18) $
$Var[X_i] = p(1-p) = frac(1)(18) * frac(17)(18) = frac(17)(18^2) $
Chiamiamo con $S_n$ la somma seguente:
$S_n = X_1 + … + X_n$
che indica il numero di volte in cui il numero 1 è uscito; per n = 100, consideriamo 100 estrazioni.
Essendo la somma di variabili aleatorie di Bernoulli, $S_n$ ha una legge binomiale di parametri $p = frac(1)(18) $ e n = 100. Calcoliamo la sua media e la sua varianza:
$E[S_n] = np = 100 * frac(1)(18) = frac(50)(9) = 5,556 $
$Var[S_n] = np(1-p) = 100 * frac(1)(18) * frac(17)(18) = 100 * frac(17)(18^2) = 5,247$
La probabilità richiesta dal problema è la seguente:
$P(S_n ≥ 12) = P( X_1 + … + X_n ≥ 12) $
Ricordiamo che, per l’approssimazione normale, la quantità $frac(S_n – E[S_n])( σ sqrt(n)) $ si comporta come una normale standard per n grande.
Quindi possiamo procedere nel modo seguente:
$P(S_n ≥ 12) = P( frac(S_n – E[S_n])( σ sqrt(n)) ≥ frac( 12 – E[S_n])( σ sqrt(n))) $
Se indichiamo con W la variabile aleatoria che si comporta come la normale standard, abbiamo:
$P(S_n ≥ 12) = P( W ≥ frac( 12 – E[S_n])( σ sqrt(n))) $
Proseguiamo sostituendo i valori numerici:
$P(S_n ≥ 12) = P( W ≥ frac( 12 – 5,556 )( 0,229 sqrt(100))) = P( W ≥ frac( 6,444 )(2,29) ) = $
$ P( W ≥ 2,814 ) $
Se indichiamo con Φ la funzione di distribuzione della normale standard abbiamo che:
$ P( W ≥ 2,814 ) = 1 – P( W < 2,814 ) = 1 – Φ(2,814) = 1 – 0,9975 = 0,0025 $
Il valore di Φ si ricava dalle tavole della distribuzione normale standard.
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