Per comprendere al meglio la risoluzione di tale problema, è utile ripassare brevemente alcuni aspetti del calcolo combinatorio.
Calcolo delle probabilità
Nel calcolo delle probabilità esiste un principio fondamentale che afferma che dato un numero n di eventi indipendenti (eventi nei quali il risultato di un evento non influenza i risultati degli altri, un esempio è il lancio di una moneta) la probabilità dell’intersezione è pari al prodotto delle singole probabilità.Per ulteriori approfondimenti sul calcolo delle probabilità vedi anche qua
Il calcolo combinatorio
Il calcolo combinatorio è una branca del calcolo delle probabilità che si occupa di raggruppamenti che si possono ottenere a partire da un numero finito di elementi.Un esempio di applicazione di calcolo combinatorio è il calcolo del numero di possibili combinazioni tra 3 oggetti.
In genere per contare il numero di combinazioni che possono essere fatte a partire da n oggetti è utile considerare quanti oggetti possono occupare ogni singolo posto.
Ovviamente il numero di possibilità è diverso se un singolo oggetto può ripetersi una sola volta oppure se può ripetersi sempre.
Il primo caso è tipico delle permutazioni di oggetti; consideriamo quindi di avere ad esempio 5 oggetti e di voler calcolare il numero di permutazioni senza ripetizione.
Il primo posto può essere occupato da ognuno dei 5 oggetti perciò avremmo 5 possibilità, il secondo posto può essere occupato da 5-1=4 oggetti diversi, il terzo posto potrà essere occupato da 5-2=3 oggetti diversi, il quarto da 5-3=2 oggetti diversi e l’ultimo posto può essere occupato da un solo oggetto, cioè dall’oggetto che non è ancora stato posizionato quindi si ha una sola possibilità di scelta.
Come detto in precedenza nel caso di eventi indipendenti (come in questo caso) il numero di combinazioni complessive è dato dal prodotto dei singoli eventi perciò:
Si può notare come il risultato è dato dal prodotto nel numero di elementi ogni volta diminuito di una unità, tale prodotto può essere scritto con una forma più compatta utilizzando la notazione del fattoriale (5!).
Perciò il numero di permutazioni è dato dal fattoriale del numero degli elementi di partenza.
Nel secondo caso in cui gli oggetti o più comunemente i numeri possono ripetersi, considerando 5 numeri e il numero complessivo formato da 5 cifre, si ha che ogni posizione può essere occupata da ognuno dei 5 numeri; dato che anche in questo caso gli eventi sono indipendenti si ha che il numero di permutazioni complessivo è:
Per ulteriori approfondimenti sul fattoriale vedi anche qua
Problema con svolgimento
Quanti sono i numeri di 4 cifre, minori di 5000, multipli di 5, formati dalle cifre 2, 3, 4, 5?
Svolgimento:
Il problema chiede quanti sono i numeri che sono multipli di 5 e che sono formati dalle cifre 2,3,4,5; il problema non specifica che tali numeri debbano contenere una sola volta ogni numero, perciò consideriamo il caso generale in cui le cifre che compongono il numero possano anche essere uguali.
Per risolvere il problema è utile considerare ogni posizione delle cifre che compongono il numero e contare quanti numeri possono occupare quel posto.
Il testo del problema afferma che i numeri che si vogliono devono essere multipli di 5; affinché un numero sia multiplo di 5 è necessario che l’ultima cifra sia uno 0 o un 5, lo 0 non è compreso tra i numeri che possono essere utilizzati perciò il nostro numero deve necessariamente terminare con la cifra 5. Quindi l’ultima cifra non ha alternative perché deve essere necessariamente un 5.
Il problema quindi si concentra sulle possibilità delle cifre che compongono le prime tre posizioni.
Il testo del problema afferma che si vuole un numero composto da 5 cifre e minore di 5000, il fatto che il numero debba essere minore di 5000 impone che la prima cifra non possa essere 5 (si avrebbe un numero maggiore di 5000) ma può essere un 2, 3 o 4.
La prima cifra perciò può essere scelta solo in 3 modi.
Passando alla seconda e alla terza posizione si può notare come questa possa essere occupata da qualsiasi cifra (2,3,4,5) perciò può essere scelta in 4 modi diversi.
Ricapitolando quindi, l’ultima cifra può essere scelta in un solo modo (5), la prima in 3 la seconda in 4 e la terza in 4 modi.
Dato che i numeri si possono ripetere e dato che la scelta dei numeri è indipendente (gli eventi sono indipendenti), si può ottenere che la quantità totale di numeri che rispetta i requisiti del problema è pari al prodotto dei singoli eventi perciò in totale:
Numeri=3⋅16=48
Perciò esistono 48 numeri che sono composti da quattro cifre, minori di 5000, multipli di 5 e formati dalle cifre 2,3,4,5.
