_antoniobernardo
di _antoniobernardo
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In questo appunto di matematica vengono riprese alcune definizioni di base del calcolo combinatorio come l’allineamento di un numero di oggetti oppure la disposizione semplice e con ripetizione e la combinazione semplice e con ripetizione. L’appunto comprende lo svolgimento del quesito proposto.

Allineamenti e disposizioni di n oggetti di classe k

Un certo numero di persone possono essere messe in fila in tanti modi diversi: in base all’altezza, in base all’età, in modo casuale, in ordine alfabetico e così via.
Si definisce allineamento un qualunque ordinamento di n oggetti diversi in modo che siano collocati in posti numerati da 1 a n.
Dove n e k sono numeri interi
Fra tutti gli oggetti di un allineamento se ne possono poi scegliere un certo numero k.
Una volta selezionato il gruppo di oggetti, se è importante, è possibile valutare l’ordine in cui essi vengono presi, oppure no.
Per esempio l’ordine di estrazione è fondamentale per i vincitori di una lotteria; se si devono selezionare degli studenti per rappresentare la classe in una gara di atletica, non ha importanza l'ordine di chiamata.
Si dice disposizione semplice di n oggetti di classe k, ogni allineamento di k oggetti che vengono scelti fra gli n indicati.
(con
[math]k\leq n[/math]
).
Questo significa che quando parliamo di disposizione semplice di classe k, stiamo considerando un elenco ordinato di numero k di oggetti, scelti però in maniera qualsiasi tra quelli assegnati di numero n. Per avere disposizioni diverse bisogna cambiare l'ordine degli oggetti oppure considerare disposizioni che contengono oggetti diversi.
Consideriamo l’insieme formato dalle quattro lettere: a, c, f, h.
Proviamo a disporle modificando il loro ordine:
  • a, f, h, c
  • f, c, h, a
  • c, a, f, h
In queste scritture gli oggetti sono gli stessi ma è cambiato l'allineamento. Nelle scritture successive i primi tre allineamenti sono diversi perché cambia almeno un oggetto.
  • a, m, d, t
  • m, a, r, t
  • p, r, d, t
Scriviamo la formula che serve per il calcolo del numero dei gruppi che si possono formare:

[math]D_{n,k}=n(n-1)(n-2)(n-3)\ldots (n-k+1)[/math]

Quanti numeri di quattro cifre, tutte diverse tra loro si possono formare con le 10 cifre decimali?

[math]D_{10,4}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040[/math]

In questo risultato sono compresi anche quei numeri che iniziano con la cifra zero e che, in realtà, non sono numeri di quattro cifre, ma di tre. Dobbiamo perciò determinare quanti sono questi numeri e sottrarre il loro numero da quello appena calcolato. Ragioniamo in questo modo: prendiamo le nove cifre diverse dello zero e calcoliamo tutte le disposizioni di classe tre. Se a ognuno dei numeri che così si formano poniamo lo zero davanti, abbiamo tutti i numeri da eliminare:

[math]D_{9,3}=9\cdot 8\cdot 7=504[/math]

I numeri naturali con quattro cifre significative tutte diverse che si possono formare sono:

[math]D_{10,4}-D_{9,3}=5040-504=4536[/math]

Disposizioni con ripetizione

Se in un allineamento di k oggetti, presi tra un insieme n, è possibile che un oggetto venga ripetuto più volte allora si dice disposizione con ripetizione di classe k. La parola mamma è una disposizione di due lettere (a, m) entrambe ripetute rispettivamente due volte e tre volte a formare la parola di 5 lettere.
Qualsiasi parola è ottenuta da una disposizione delle lettere dell'alfabeto. Le 21 lettere dell'alfabeto costituiscono l'insieme degli n oggetti, con n=21, la lunghezza della parola è la classe k, cioè il raggruppamento degli oggetti.
La parola vetrina rappresenta una disposizione delle 21 lettere dell'alfabeto di classe 7, ma senza ripetizione.
Il calcolo combinatorio si applica anche ai problemi di calcolo sui lanci ripetuti, come quello delle monete o dei dadi.
Se lanciamo una moneta più volte di seguito e cerchiamo di prevedere tutti i modi con cui si succedono le due facce che sono TESTA (T) e CROCE (C], possiamo considerare i casi seguenti:
  • TTT
  • TTC
  • TCT
  • TCC
  • CTT
  • CTC
  • CCT
  • CCC
I gruppi che si ottengono differiscono per l’ordigne degli elementi contenuti, ma un elemento può comparire più di una volta. Tutti questi otto gruppi si chiamano disposizioni con ripetizione. A differenza delle disposizioni semplici, la classe di un gruppo può essere maggiore del numero di elementi a disposizione in questo esempio la classe di ogni gruppo è 3, gli elementi sono 2.
Generalizziamo ora il procedimento considerando n oggetti distinti e determiniamo la formula per raggruppamenti di classe K.
Le disposizioni con ripetizione di n, oggetti distinti di classe k, sono tutti i gruppi di k elementi, anche ripetuti, scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o il loro ordine:

[math]D_{n,k}^r=n^k[/math]

Nell’esempio dei lanci ripetuti abbiamo infatti:

[math]D_{2,3}^r=2^3=8[/math]
Per ulteriori approfondimenti sul calcolo combinatorio vedi qua

Permutazioni semplici

Quando c’è da raggruppare un numero di oggetti e il posti a disposizione sono tanti quanti sono gli oggetti si parla di permutazioni semplici. In questo caso n=k.
Le permutazioni semplici di n elementi distinti sono tutti i gruppi formati dagli n elementi, che differiscono per il loro ordine.
Come si calcolano le possibili permutazioni di un insieme costituito da n elementi?
Pla scelta del primo elemento le possibilità sono n; per la scelta del secondo elemento le possibilità diventano n-1, perché il primo è fissato e possiamo far ruotare tutti gli elementi restanti. Iterando questo ragionamento, si ottiene che le possibili permutazioni di un insieme di n elementi sono:

[math]P_n=n(n-1)(n-2)(n-3) \ldots \cdot 2 \cdot 1[/math]

Il prodotto di tutti questi fattori si indica con il simbolo seguente e si legge n fattoriale

[math]P_n=n![/math]

Le permutazioni di n elementi sono tutti i possibili allineamenti che si ottengono scambiando semplicemente di posto gli n oggetti. Esse coincidono con le disposizioni semplici di n elementi di classe n:

[math]P_n=D_{n,n}=n![/math]

Ad esempio il fattoriale di sette vale:

[math]P_7=7!=7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=5040[/math]
Per ulteriori approfondimenti sul fattoriale vedi qua

Permutazioni con ripetizione

Proviamo a calcolare quanti anagrammi, anche senza significato, si possono formare con le lettere della parola TETTO nella quale la T si ripete più volte. Le permutazioni di cinque elementi sono 120. In questo caso bisogna dividere per le permutazioni della lettera che si ripete ovvero 3!=6:

[math]{120 \over 6}=20[/math]

Le permutazioni con ripetizione di n elementi di cui h, k,… ripetuti, sono tutti i gruppi formati dagli n elementi che differiscono per l’ordine in cui si presentano gli elementi distinti e la posizione che occupano gli elementi ripetuti:

[math]P_n^{(h,k,\ldots)}=\frac{n!}{h! \cdot k! \cdot \ldots}[/math]

Possiamo calcolare il numero di modi in cui cinque sedie possono essere occupate da tre persone:

[math]P_5^{(2)}=\frac{5!}{2!}=5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2=60[/math]

Si può utilizzare anche il coefficiente binomiale per calcolare le permutazioni con ripetizione.

Combinazioni semplici

Una combinazione semplice di n oggetti di classe k, è un raggruppamento di k oggetti pressi tra gli n, e scelti in un modo qualsiasi senza un ordine prestabilito.
Quando non è importante l’ordine con cui vengono presi gli elementi si parla di combinazione semplice.
Ad esempio consideriamo le prime tre lettere dell’alfabeto: a, b, c.
Volendo raggrupparle a due a due, quante sono le combinazioni semplici di classe due?
Una combinazione si diversifica da una disposizione perché nella prima non ha importanza l'ordine con cui si presentano gli elementi.
Le dsposizioni di tre oggetti presi a due a due sono 6, e si indica con la seguente scrittura:

[math]D_{3,2}=6[/math]

Elenchiamole:

ab, ac, bc, ba, ca, cb

Se l’ordine non è importante, le combinazioni diventano tre:

ab, ac, bc

Il numero delle combinazioni è dato dal rapporto tra il numero delle disposizioni e il numero 2 che rappresenta il numero delle permutazioni di due elementi quindi è due fattoriale.
Vale la seguente formula:

[math]C_{n,k}=\frac{D_{n,k}}{k!}[/math]

Per ulteriori approfondimenti sul fattoriale vedi qua

Due Problemi svolto sulle disposizioni

Quanti sono i numeri di 6 cifre che hanno le prime 3 cifre dispari e le restanti pari?
Svolgimento
Le dieci cifre che utilizziamo per scrivere i numeri sono cinque dispari, {1, 3, 5, 7, 9} e cinque pari {0, 2, 4, 6, 8}.
I numeri che cerchiamo sono del tipo: 135246, 335246, 535246, 735246, 935246,....
Cosa notiamo?
Nel numero costituito tra 6 cifre, per ogni posizione abbiamo cinque scelte.
Ricordiamo che nel numero le cifre possono ripetersi anche più volte dunque si tratta di calcolare il numero delle disposizioni di cinque elementi di classe k=6.

[math]D_{5,6}^r=5^6=15625[/math]

È possibile scrivere esattamente 15625 numeri.

Tra tutti i numeri di 2 cifre, tutte pari e diverse fra loro, quanti sono i multipli di 6?[
Svolgimento
L’insieme delle cifre pari è P={0, 2, 4, 6, 8}.
Le disposizioni di cinque cifre a due a due sono:

[math]D_{5,2}=5x4=20[/math]

A queste dobbiamo sottrarre tutti i numeri che iniziano con lo zero perché realtà non sono di due cifre ma di una: 02=2, 04=4, 06=6, 08=8.
Restano dunque 20-4 = 16 numeri pari di due cifre.

  • 20, 22, 24, 26, 28
  • 40, 42, 44, 46, 48
  • 20, 62, 64, 66, 68
  • 20, 82, 84, 86, 88
I numeri divisibili per sei sono anche multipli di 2 e multipli di 3, quindi nei 16 numeri elencati ne abbiamo solo 6:

24, 42, 48, 66, 84
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