_stan
di _stan
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  1. Qual è la probabilità che le due palline siano una bianca e una rossa?
  2. Supponiamo che l'estrazione abbia dato come risultato una pallina B e una R; qual è la probabilità
    [math]p_i[/math]
    che l'urna prescelta sia la i-esima? Qual è l'urna più probabile?
  3. Supponiamo che vi siano 2 urne contenenti 3 palline rosse e 6 bianche (le urne sono quindi 7 in totale). Se l'estrazione ha dato come risultato una pallina B e una R, qual è la probabilità che l'urna prescelta sia di tipo i? (cioè che contenga i palline bianche) Qual è il valore di i più probabile?

1) Indichiamo con A l'evento vengono estratte due palline di colore diverso, e con

[math]E_i[/math]
l'evento si sceglie l'urna i-esima.
Ogni urna i ha quindi un totale di 3 + i palline, ovvero i palline bianche e 3 palline rosse. Poiché le estrazioni vengono fatte con rimpiazzo, possiamo modellare la soluzione utilizzando una variabile aleatoria di tipo binomiale; in particolare, poiché vengono fatte due estrazioni abbiamo
[math]n = 2[/math]
, e poiché si hanno i palline bianche su un totale di 3 + i palline in ogni urna, la probabilità di successo
[math]p = \frac{i}{i+3}[/math]
.

La probabilità di estrarre due palline di colore diverso, ovvero di verificarsi di A, consiste nel fatto che vengano estratte esattamente una pallina rossa e una pallina bianca, ovvero la probabilità richiesta dal problema.

La probabilità che si verifichi l'evento A sapendo che è stata scelta l'urna i-esima è data dalla seguente formula:

[math]P(A | E_i) = \binom{2}{1} \cdot p^{1} \cdot (1-p)^{2-1} = 2 \cdot \frac{i}{3+i} \cdot \left(1 - \frac{i}{3+i}\right) = \frac{6i}{(3+i)^{2}}[/math]

La probabilità dell'evento A si ottiene considerando tutte le possibili urne che possono essere scelte, ed è data da:

[math] \displaystyle P(A) = \sum_{i=1}^{6} P(A | E_i) \cdot P(E_i) = \sum_{i=1}^{6} \frac{6i}{(i+3)^{2}} \cdot \frac{1}{6} = \sum_{i=1}^{6} \frac{i}{(i+3)^{2}}[/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math]P(A) = \frac{1}{16} + \frac{2}{25} + \frac{3}{36} + \frac{4}{49} + \frac{5}{64} + \frac{6}{81} = 0,4597[/math]

2) Supponendo che si sia verificato l'evento A, vogliamo sapere qual è la probabilità che la pallina sia stata scelta dall'urna i-esima; possiamo calcolare tale probabilità applicando la formula di Bayes:

[math]p_i = P(E_i | A) = \frac{ P(A | E_i) \cdot P(E_i) }{ P(A) } = \frac{ \frac{i}{(i+3)^{2}} }{ 0,4597 }[/math]

Per capire quale urna è la più probabile, possiamo considerare la funzione :

[math]g(i) = \frac{1}{0,4597} \cdot \frac{i}{(i+3)^{2}}[/math]

e studiare per quale valore di i la funzione ha un massimo. Calcoliamo la derivata prima:

[math]g(i) = \frac{1 \cdot (i+3)^{2} - i \cdot 2(i+3)}{(i+3)^{4}}[/math]

[math]g(i) = \frac{i^{2} + 9 + 6i - 2i^{2} - 6i}{(i+3)^{4}}[/math]

[math]g(i) = \frac{-i^{2} + 9}{(i+3)^{4}}[/math]

La derivata prima si annulla per i = 3 e per i = -3; studiando il segno della derivata prima, possiamo facilmente notare che il punto di massimo si ottiene per i = 3; di conseguenza, possiamo concludere che l'urna numero 3 è l'urna più probabile.

3) Possiamo procedere applicando gli stessi ragionamenti fatti in precedenza, con le varianti seguenti:

[math] P(E_1) = P(E_2) = \dots = P(E_5) = \frac{1}{7}[/math]

[math] P(E_6) = \frac{2}{7}[/math]

Calcoliamo la probabilità di estrarre due palline di colore diverso:

[math] \displaystyle P(A) = \sum_{i=1}^{6} P(A | E_i) \cdot P(E_i) = [/math]

[math] \displaystyle = \sum_{i=1}^{5} \frac{6i}{(i+3)^{2}} \cdot \frac{1}{7} + \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9} = \frac{6}{7} \sum_{i=1}^{5} \frac{i}{(i+3)^{2}} + \frac{8}{63}[/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math]P(A) = \frac{6}{7} \left(\frac{1}{16} + \frac{2}{25} + \frac{3}{36} + \frac{4}{49} + \frac{5}{64}\right) + \frac{8}{63} = 0,4457[/math]

Calcoliamo ora la probabilità che la pallina sia stata estratta dall'urna i-esima sapendo che si è verificato l'evento A; procediamo come in precedenza:

[math] p_i = P(E_i | A) = \frac{ P(A | E_i) \cdot P(E_i) }{ P(A) } = \frac{ \left(\frac{6i}{(i+3)^{2}} \cdot \frac{1}{7} + \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9}\right) }{0,4457}[/math]

Anche in questo caso, consideriamo la funzione:

[math]g(i) = \frac{1}{0,4457} \cdot \left(\frac{6i}{(i+3)^{2}} \cdot \frac{1}{7} + \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9}\right) [/math]

Calcolando la derivata prima e studiando i punti in cui essa si annulla, possiamo trovare un punto di massimo per i = 6; concludiamo che in questo caso l'urna più probabile è la numero 6.

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