_stan
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  1. Calcolare la probabilità di vincere il gioco;
  2. Calcolare la probabilità che sia uscita testa nel lancio iniziale di moneta, sapendo che si è vinto il gioco;
  3. Calcolare la probabilità che, ripetendo più volte il gioco, si vinca per la prima volta al terzo tentativo.

1) Per determinare la probabilità di vittoria, dobbiamo far riferimento alla probabilità condizionale; chiamiamo con T e C gli eventi in cui le uscite del lancio della moneta sono rispettivamente testa e croce; poiché la moneta è equa, abbiamo che:

[math] P(T) = P(C) = \frac{1}{2}[/math]

Indichiamo con A l'evento "esce il valore 1" dal lancio del dado, e con V l'evento "si vince il gioco".

Abbiamo che:

[math]P(A) = \frac{1}{6}[/math]

[math]P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} [/math]

Dove con

[math]A_1 \cap A_2[/math]
intendiamo il fatto che esca il valore 1 da entrambi i due dadi che si lanciano.

La probabilità di vittoria, nel caso in cui esca testa, è data da:

[math] P(V|T) = P(A) = \frac{1}{6} [/math]

mentre se esce croce:

[math] P(V|C) = P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{36} [/math]

Applicando la formula della probabilità condizionale, possiamo trovare la probabilità di vittoria:

[math] P(V) = P(V|T) \cdot P(T) + P(V|C) \cdot P(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{72} = \frac{7}{72} [/math]

2) In questo caso la probabilità che ci viene chiesta è la seguente: P(T|V); per determinare tale probabilità possiamo applicare la formula di Bayes:

[math] P(T|V) = \frac{P(V|T) \cdot P(T)}{P(V|T) \cdot P(T) + P(V|C) \cdot P(C)} = \frac{P(V|T) \cdot P(T)}{P(V)} [/math]

Sostituiamo i valori numerici:

[math] P(T|V) = \frac{P(V|T) \cdot P(T)}{P(V)} = \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{7}{72}} = \frac{6}{7} [/math]

3) Per risolvere questo terzo quesito possiamo utilizzare una variabile aleatoria S che indica il numero di prove che occorrono prima di ottenere la prima vittoria; tale variabile aleatoria, quindi, descrive l'istante di primo successo in uno schema successo-insuccesso, e di conseguenza segue una legge geometrica modificata:

[math]P(S=k) = p \cdot (1-p)^{k-1}[/math]

dove abbiamo indicato con p la probabilità di vittoria. Sapendo che il problema chiede di determinare la probabilità che si vinca per la prima volta al 3º tentativo, poniamo k = 3, e risolviamo la formula con

[math]p = \frac{7}{72} [/math]
:

[math]P(S=3) = p \cdot (1-p)^{3-1} = \frac{7}{72} \cdot \left(1 - \frac{7}{72} \right)^2 = \frac{7}{72} \cdot \left(\frac{65}{72} \right)^2 \approx 0.0792 [/math]

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