In generale, è noto che una variabile aleatoria uniformemente distribuita nell'intervallo (a,b) ha una densità che è della seguente forma:
[math]f = \frac{1}{b-a}[/math]
.
Nel nostro caso, quindi, avremo che:
[math] f_n (x) = \frac{1}{\frac{1}{n}-\left(-\frac{1}{n}\right)} \quad \text{o} \quad f_n (x) = \frac{1}{\frac{2}{n}} \quad \text{con} \quad x \in \left(-\frac{1}{n} , \frac{1}{n}\right) [/math]
[math] f_n (x) = \frac{n}{2} \quad \text{con} \quad x \in \left(-\frac{1}{n} , \frac{1}{n}\right) [/math]
e la funzione vale zero in tutti i punti x esterni a tale intervallo.
Sappiamo, inoltre, che la funzione di distribuzione è della forma:
[math]F(x) = \frac{x-a}{b-a}[/math]
, e quindi nel nostro caso vale:
[math]F_n (x) = \frac{x-\left(-\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}-\left(-\frac{1}{n}\right)} \quad \text{o} \quad F_n (x) = \frac{x+\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}[/math]
[math]F_n (x) = \frac{nx + 1}{2} \quad \text{con} \quad x \in \left[-\frac{1}{n} , \frac{1}{n}\right] [/math]
[math]F_n (x) = \frac{nx}{2} + \frac{1}{2} \quad \text{con} \quad x \in \left[-\frac{1}{n} , \frac{1}{n}\right] [/math]
La funzione di distribuzione vale 0 per tutti gli x minori di -1/n, e vale 1 per tutti gli x maggiori di 1/n.
La convergenza in distribuzione si ha quando la funzione di distribuzione di una determinata successione di variabili aleatorie converge alla funzione di distribuzione di una v.a.
nota, per n tendente all'infinito. Calcoliamo quindi il limite della nostra funzione di distribuzione; per ogni valore di x fissato si ottiene:
[math] \displaystyle \lim_{n \to \infty} F_n (x) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0 \quad \text{per} \quad x
[math \displaystyle \lim_{n \to \infty} F_n (x) = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \quad \text{per} \quad x > 0[/math]
[math] \displaystyle \lim_{n \to \infty} F_n (x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot 0}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{per} \quad x = 0[/math]
Consideriamo quindi una variabile aleatoria X che vale zero quasi certamente, ovvero per cui si ha:
[math]P(X = 0) = 1[/math]
; la funzione di distribuzione di X è quindi la seguente:
[math] F_X (x) = P(X \leq x) = 0 \cdot 1_{(-\infty, 0)} (x) + 1 \cdot 1_{[0, +\infty)} (x)[/math]
quindi, la funzione di distribuzione è 0 per tutti gli x minori di zero, e vale uno per tutti gli x maggiori o uguali a zero.
Tale funzione di distribuzione coincide con
[math]F_n (x)[/math]
in tutti i punti in cui essa è continua (in zero la funzione ha un punto di discontinuità di prima specie). Possiamo quindi concludere che la successione di variabili aleatorie {
[math]X_n[/math]
} tende a X in distribuzione.
