Si consideri la successione di variabili aleatorie {$X_n$} (n = 1,2…) uniformemente distribuite nell’intervallo (-1/n, 1/n). Stabilire se {$X_n$} converge in distribuzione a qualche variabile aleatoria X

In generale, è noto che una variabile aleatoria uniformemente distribuita nell’intervallo (a,b) ha una densità che è della seguente forma: $f = frac(1)(b-a)$.

Nel nostro caso, quindi, avremo che:

$ f_n (x) = frac(1)(1/n-(-1/n)) to f_n (x) = frac(1)(2/n) $ con $ x in (-1/n , 1/n) $

$ f_n (x) = frac(n)(2) $ con $x in (-1/n , 1/n) $

e la funzione vale zero in tutti i punti x esterni a tale intervallo.

Sappiamo, inoltre, che la funzione di distribuzione è della forma: $F(x) = frac(x-a)(b-a) $, e quindi nel nostro caso vale:

$F_n (x) = frac(x-(-1/n))(1/n-(-1/n)) to F_n (x) = frac(x+1/n)(2/n) $

$F_n (x) = frac(nx + 1)(2)  text(    ) x in [-1/n , 1/n] $

$F_n (x) = frac(nx)(2) + 1/2 text(    )  x in [-1/n , 1/n] $

la funzione di distribuzione vale 0 per tutti gli x minori di -1/n, e vale 1 per tutti gli x maggiori di 1/n.

La convergenza in distribuzione si ha quando la funzione di distribuzione di una determinata successione di variabili aleatorie converge alla funzione di distribuzione di una v.a. nota, per n tendente all’infinito. Calcoliamo quindi il limite della nostra funzione di distribuzione; per ogni valore di x fissato si ottiene:

$ lim_(n to ∞) F_n (x) = lim_(n to ∞) 0 = 0 text(    per  ) x < 0$

$ lim_(n to ∞) F_n (x) = lim_(n to ∞) 1 = 1 text(    per  ) x > 0$

$ lim_(n to ∞) F_n (x) = lim_(n to ∞) frac(n*0)(2) + 1/2 = 1/2 text(    per  ) x = 0$

Consideriamo quindi una variabile aleatoria X che vale zero quasi certamente, ovvero per cui si ha: $P(X = 0) = 1$; la funzione di distribuzione di X è quindi la seguente:

$ F_X (x) = P(X≤x) = 0 * 1_(-∞, 0) (x) + 1 * 1_[0, +∞) (x)$

quindi, la funzione di distribuzione è 0 per tutti gli x minori di zero, e vale uno per tutti gli x maggiori o uguali a zero.

Tale funzione di distribuzione coincide con $F_n (x)$ in tutti i punti in cui essa è continua (in zero la funzione ha un punto di discontinuità di prima specie). Possiamo quindi concludere che la successione di variabili aleatorie {$X_n$} tende a X in distribuzione.

 

 

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