Si consideri la successione di variabili aleatorie {$X_n$} (n = 1,2…) uniformemente distribuite nell’intervallo (-n, n). Stabilire se {$X_n$} converge in distribuzione a qualche variabile aleatoria X

In generale, è noto che una variabile aleatoria uniformemente distribuita nell’intervallo (a,b) ha una densità che è della seguente forma: $f = frac(1)(b-a)$.

Nel nostro caso, quindi, avremo che:

$ f_n (x) = frac(1)(n-(-n)) to f_n (x) = frac(1)(2n) x € (-n , n) $

e la funzione vale zero in tutti i punti x esterni a tale intervallo.

Sappiamo, inoltre, che la funzione di distribuzione è della forma: $F(x) = frac(x-a)(b-a) $, e quindi nel nostro caso vale:

$F_n (x) = frac(x-(-n))(n-(-n)) to F_n (x) = frac(x+n)(2n) $

$F_n (x) = frac(x)(2n) + 1/2 x € [-n , n] $

la funzione di distribuzione vale 0 per tutti gli x minori di -n, e vale 1 per tutti gli x maggiori di n.

La convergenza in distribuzione si ha quando la funzione di distribuzione di una determinata successione di variabili aleatorie converge alla funzione di distribuzione di una v.a. nota, per n tendente all’infinito. Calcoliamo quindi il limite della nostra funzione di distribuzione:

$ lim_(n to ∞) F_n (x) = lim_(n to ∞) frac(x)(2n) + 1/2 = 1/2 $

Notiamo che il valore ottenuto è un valore costante; in generale, un valore costante non può essere funzione di distribuzione, e quindi possiamo concludere che la successione {X_n} non converge in distribuzione ad alcuna variabile aleatoria X.

 

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